东城区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知 ，则锐角A的度数是
A． B． C． D．
2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是
A B C D
3．以下事件为必然事件的是
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0
B．多边形的内角和是
C．二次函数的图象必过原点
D．半径为2的圆的周长是
4．将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是
A. B.
C. D.
5． 如图，线段AB是⊙O的直径，弦 CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于
A． 120° B． 140° C． 150° D． 160°
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，则
S△DEF：S△BCF等于
A. 1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致是
A B C D
8．如图，边长为4的正方形ABCD的边BC与直角边分别是2和4的Rt GEF的边GF重合,正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt GEF重叠部分的面积为S，则S关于t的函数图象为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知反比例函数 (k是常数，且 )的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 ．
10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△ ， 交AC于点D，若∠ =90°，则∠A= 度．
11．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有两点 ， ，它们的横坐标分别是2，6，则△ 的面积是 .
12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A （ ，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ,点B2014的坐标为．
三、解答题（本题共30分，每小题 5分）
13．计算： .
14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．
15．已知二次函数 .
（1）将 化成 的形式；
（2）当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
（3）当 时，写出 的取值范围.
16．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A,B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点 ， ．设∠ABP =α．
（1）当α=10°时， °；
（2）当点 落在 上时，求出 的度数．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B. 求线段EC的长度。
18． 如图， AB为⊙O的直径,与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= ，CE=1．
求 的长度．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了“汉字听写大赛”．为了决定谁将获得仅有的一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为1，2，3的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为4，5的乒乓球两个，五个球除了编号不同外，其他均相同．小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李去．试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
20．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A处测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变又前 进1200米到达点B处测得F点的俯角为45°．请据此计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值： ≈1.732）
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）证明:DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R=5，tanA= ，求线段CD的长.
22．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数 （a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，-2）和点C（-1,6）.
（1）求二次函数表达式；
（2）若 ，比较 与 的大小；
（3）将抛物线 平移，平移后图象的顶点为 ，若平移后的抛物线与直线 有且只有一个公共点，请用含 的代数式表示 .
24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形.请直接写出AC1 与BD1的数量关系和位置关系.
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1，
请直接写出k的值和 的值.
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B,与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（ 0＜m＜3） 得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S．
东城区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C B B A B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案 等
55
（20，4），（10070，4）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
14. 解:（1）
………………2分
（2）由图可知，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，
其中∠B′AB=90°， ，
∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为： .………5分
15．解：（1） ； ………………2分
（2）-1，8； ……………… 4分
（3） . ………………5分
16.（1）（1）当α=10°时， 20 ……………2分
（2）若点 落在 上，连接OO′.
则OO′=OB.
又∵点 关于直线 对称，
∴ .
∴ △BOO′是等边三角形.
∴ ∠OBO′=60°.
∴α= ∠OBO′=30°. ……………5分
18．解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD．┉┉┉２分
∴∠A=30°．
∴∠COE=60°．┉┉┉3分
∵AE⊥CD，
∴ = ，
∴ 的长度l= = ．┉┉┉５分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.解：列表或画树状图正确． ………………………………………………… 2分
∵ P(两个球上的数字之和为奇数)= ，
P(两个球上的数字之和为偶数)= ，
∴ 这个规则公平． ……………………………………………………… 5分
答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．
21. （1）解：连接OD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠A.
又∵∠BDE=∠A,
∴∠ODA=∠BDE.
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90.°
即∠ODA+∠ODB=90°.
∴∠BDE+∠ODB=90°.
∴ .
∴DE是⊙O的切线.…………………２ 分
（2）∵R=5,
∴AB=10.
∵tanA= ＝
∴BC= AB?tanA=10× =
∴AC= ……………３分
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB,
∴△BCD∽△ACB .
∴
∴ ……………５分
22．解： EF＝BE＋FD.………………………1分
探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立.………………………2分
证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG.
又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG.
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
又∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG
＝∠FAD＋∠BAE
＝∠BAD－∠EAF
＝∠BAD－ ∠BAD
＝ ∠BAD .
∴∠EAF＝∠F AG.
∴△AEF≌△AGF.
∴EF＝GF.
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF,
∴EF＝BE＋FD. ………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.解：（1）∵抛物线过点 , , ,
∴
∴
∴ .………………………2分
(2)∵当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， ，即 .…………………4分
(3) 由（1）知， .设平移后的抛物线的表达式为 .
∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
∴方程 有两个相等的实数根.
整理得： .
∴ .
∴ . ………………………7分
（2） .
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴OC＝OA= ＡＣ，ＯＤ＝OB= ＢＤ，AC⊥BD.
∵△C1OD1由△COD绕点O旋转得到,
∴O C1= OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1.
∴O C1＝OA ，O D1＝OB，∠AO C1=∠BO D1,
∴ .
∴ .
∴△AO C1∽△BOD1.………………………………4分
∴∠O AC1= ∠OB D1.
又∵∠AOB=90°,
∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°.
∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°.
∴∠APB=90°.
∴ＡC1⊥BD1。……………………………………………5分
∵△AO C1∽△BOD1,,,,
∴ .
即 .
（3） .……………………………………………6分
.…………………………………7分
25. 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为B（3，0），
则,
解得 ．
故抛物线的解析式为 . ----------------2分
（2）①当AC=AM时，M ；
②当AC=CM时，M 或M ．
所以,点M的坐标为 , , ;----------------４分
（3）记平移后的三角形为△EFG．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
解得
则直线BC的解析式为 ．
△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG，
易得直线FG的解析式为 ．
设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则
解得
则直线BD的解析式为 ．
连结CG，直线CG交BD于H，则H（ ，-3）．
在△OBC沿x轴向右平移的过程中．
①当0＜m≤ 时，如图1所示．
设EG交BC于点P，GF交BD于点Q．
则CG=BF=m，BE=PE=3﹣ m，
联立 ，
解得 ，
即点Q（3﹣m，-2m）． 图1
②当 ＜m＜3时，如图2所示．
设EG交BC于点P，交BD于点N．
则OE=m，BE=PE=3﹣ m，
又 因为直线BD的解析式为 ，
所以当x=m时，得y=2m﹣6，
所以点N（m，2m-6）． 图2
综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．---------------8分