密云县2015九年级上学期数学期中考试题(含答案解析)
一、选择题 （本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.
1. 已知 ，那么下列式子中一定成立的是
A． B． C． D．
2. 如图，△ 中, ∥ ， ， ，
则 的长是
A． B．
C． D．
3. 如图，⊙ 是 的外接圆， ，则 的度数为
A． B．
C． D．
4. 将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
A． B．
C． D．
5.如图，在 ， ， ， ，则 的值等于
A． B．
C． D．
6. 如图， 是 的直径， 是圆上两点， ，
则 的度数为
A． B．
C． D．
7. 在平面直角坐标系 中，以 为圆心，半径为5的圆与 轴的位置关系是
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
8. 如图， 中， ， .
点O是BC中点，点D沿B→A→C方向从B运动
到C.设点D经过的路径长为 ， 长为 .则函数
的图象大致为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 若两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是 .
10. 若反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则 的取值范围是______.
11. 若扇形的圆心角为120°，半径为3 ，那么扇形的面积是____ .
12. 如图，边长为1的正方形 放置在平面直角坐标系中，顶点 与坐标原点 重合，点 在 轴上.将正方形 沿 轴正方向作无滑动滚动，当点 第一次落在 轴上时， 点的坐标是________, 点经过的路径的总长度是________；当点 第2014次落在 轴上时， 点经过的路径的总长度是_______.
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
13. 计算：
14. 如图，在 中，点 在边 上， ,
.求 的长.
15. 已知二次函数 .
（1）求二次函数与 轴的交点坐标；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围.
16. 如图，在 中， ， 求 的长.
17. 如图， 是⊙ 的弦， 是⊙ 的直径， ，垂足为 . ，求 长.
18. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 的高度，他们先在点 处测得树顶 的仰角为 ，然后沿 方向前行 ，到达 点，在 处测得树顶 的仰角高度为 （ 、 、 三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树 的高度（结果精确到 ）.（参考数据： ≈1.732）
19. 在平面直角坐标系 中，一次函数 和函数
都经过 .
（1）求 值和一次函数的解析式；
（2）点 在函数 的图象上，
且位于直线 下方.若点 的
横纵坐标都为整数，直接写出点 的坐标.
20. 在 中， ， ， , 是 中点， 于 .
(1)求 的度数.
(2)求四边形 的面积.
21. 如图， 是 的直径， 是圆周上一点， 于点 .
过 作 的切线，交 的延长线于点 ,连接 .
（1）求证： 是 的切线.
（2）若 ， ，求 的半径.
22. 阅读下面材料:
小明遇到下面一个问题：
如图1所示， 是 的角平分线， ，求 的值.
小明发现，分别过 ， 作直线 的垂线，垂足分别为 .通过推理计算，可以解决问题（如图2）.请回答， ________.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，四边形 中， 平分 ， . 与 相交于点 .
（1） =______.
（2） =__________.
四、解答题（本题共22分，23题、24题各7分，25题8分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的开口向下，且抛物线与 轴的交于点 ，与 轴交于 ， 两点，（ 在 左侧）. 点 的纵坐标是 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线 的解析式；
（3）将抛物线在点 左侧的图形（含点 ）记为 .
若直线 与直线 平行，且与
图形 恰有一个公共点，结合函数图象写出 的
取值范围.
24. 中，AB=AC，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转 得到线段AD,其中
.连结BD，CD， .
（1）若 ， ,在图1中补全图形，并写出 值.
（2）如图2，当 为钝角， 时 ， 值是否发生改变？证明你的猜想.
(3) 如图3， ， ，
BD与AC相交于点O，求 与 的面积比.
25. 如图1，在平面直角坐标系中， 为坐标原点.直线 与抛物线 同时经过 .
（1）求 的值.
（2）点 是二次函数图象上一点，(点 在 下方)，过 作 轴，与 交于点 ，与 轴交于点 .求 的最大值.
（3）在（2）的条件下，是否存在点 ,使 和 相似？若存在，求出 点坐标，不存在，说明理由.
密云县2015九年级上学期数学期中考试题(含答案解析)参考答案
一、选择题（共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A C D B C B B A
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 9：4 10. 11. 12. , ； .
三、解答题（本题共50分，每小题5分）
13. 计算：
解：原式= …………………….4分（写对一个三角函数值给1分）
= ………………………………………………….5分
14.证明： ，
∽ ………………………………2分
, …………………………………3分
……………………………………5分
15. 解：（1）由（1）可得二次函数的解析式为 .
令 ，解得 或 ............................1分
二次函数与 轴的交点坐标为 和 …………………2分
（2）
…………………………………………3分
=
对称轴是 ，顶点坐标是 ……………………………4分
(3) …………………………………………………………………………….5分
16.解：过 作 ，交DE延长线于点G……………………………1分
在 中， ，
，
，
解得： ， …………………………………….3分
在 中， .
………………………………………………………5分
17. 解：
………………………………………………..1分
………………………………………2分
连结OB.
在 中， …………………….3分
是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦， 是⊙ 的直径，
,垂足为
………………………………………………………………4分
……………………………………………………..5分
18.解：由题意可知， .
设 则 ，…………………….1分
中， ……….3分
解得： ………………………………………………………….4分
………………………………………………….5分
（其它解法酌情给分）
19.
解：
（1） 一次函数 和函数 都经过 .
…………………………………………………………..1分
…………………………………………2分
，一次函数的表达式是 ……………………3分
（2）满足题意的点B的坐标是（2，2）…………………………..5分
20. 解：
(1) 过D作 于F.
………………………………………1分
, ……………………………………………………………………..2分
在 中，
……………………………………………………………………………………….3分
（2）可求： …………………………………….4分
可求：
四边形 的面积是10.……………………………………………………………….5分
21.
解：
（1）证明：连结OC.
是 的弦， ，OA=OC
在 和 中，
……………1分
切 于点C
即
又 OA是 的半径， 是 的切线……………………………2分
（2）连结BC.
是 的直径， 又
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k0)
∽
…………………………………………………………………………3分
设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k0) ……………………………4分
的半径长为5………………………5分
22. ；（1） （2）
四、解答题（本题共22分，23题、24题各7分，25题8分）
23.
(1)
抛物线 与y轴的交点A的纵坐标是3
解得： ……………………………………………1分
抛物线开口向下
抛物线的解析式为 …………..……………………………………2分
(2) 由（1）可知 .设 的解析式为 .
则 解得:
AB的解析式为： ………………….………………………………………..4分
(3)当 经过 点时， …………………………………………….5分
结合图象可知， 的取值范围是 .………………………………………………7分
24.
（1） ……………………………………….2分.
(图形正确1分，m值1分)
（2）解：
………………………………………………4分
(其它证明方法请酌情给分.)
(3) …………………………………7分
25.
解：
（1） 抛物线 经过两点
解得
所以二次函数的表达式为 . …………………………….2分
(2)可求经过AB两点的一次函数的解析式为 .
当 时， 取得最大值为4.……………………………….4分
(3)存在.
①当 时，（如图1）
可证： ，
∽ .
. ………………………………………6分
②当N为AB中点时，（如图2）
，
∽ .此时 .
满足条件的N 或N ……………………………………..8分