门头沟区2015九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知 ，则 的值是
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
3．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是
A． B．
C． D．
4．如果反比例函数 在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－1
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，如果 ，那么
∠ACB的度数是
A．40° B．50°
C．60° D．80°
6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这
个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是
A． B． C． D．
7．将抛物线 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
A． B．
C． D．
8．如图，等边三角形ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点
A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x 函数
的图象大致为
A B C D
二、填空题：（本题共16分，每小题4分）
9． 扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长 为_______.
10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图
所示. 如果OA=20cm，OA′=50cm，那么这个三角
尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是 .
11． 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 ，
在下列结论中，唯一正确的是 .
（请将正确的序号填在横线上）
① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0；
④ b2－4ac＜0；⑤ 当x= 时，y的最大值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．
（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，
那么B1的坐标是 ．
（2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到
正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐标是 ．
三、解答题：（本题共30分，每题5分）
13．计算：
14．已知抛物线y=x2－4x+3．
（1）用配方法将y=x2－4x+3化成y=a(x－h)2+k的形式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0.
15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长.[来
16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋 高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD
为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）
17．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1） 求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半径．
18．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象的一个交点为A（2，3）．
（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例
函数图象上，且△PBC的面积等于18，请直接写出点P的坐标．
四、解答题：（本题共20分，每题5分）
19．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ．
（1）求tanB的值；
（2）求AB的长．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；
（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的 取值范围．
21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF= ∠CAB．
（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．
22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1 图2
请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（ ，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在（2）的条件下，将关于 的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象． 请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
图1 图2
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
① 求证：△OCP∽△PDA；
② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
25．我们规定：函数 （a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数 就是反比例函数 （k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数 的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；
（3）把反比例函数 的图象向右平移4个单位，再向上平移 个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；
（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧)，如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．
门头沟区2015九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D B C A C
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题号 9 10 11 12
答案
③ （－1，1） （4025，－1）
三、解答题（本题共30分，每题5分）
13．解：
…………………………………………………………………4分
. ……… …………………………………………………………5分
14．解：（1）y=x2－4x+4－4+3 …………………………………………………………1 分
=(x－2)2－1 ………………………………………………………………2分
（2）对称轴为直线 ，顶点坐标为（2，－1）. …………………………4分
（3）1＜x＜3. …………………………………………………………………5分
15．（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABC=∠ACD，…………………………………………1分
∴ △ACD∽△ABC. ……………………………………………………2分
（2）解：∵ △ACD∽△ABC，
∴ ………………………………………………………………3分
∴ ………………………………………………………………4分
∴ ………………………………………………………………5分新*课*标*第*一*网
16．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
∴ BD=AD=20．………………………………………………………………2分
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，
∴ CD= AD= ．……………………………………………………4分
∴ BC=BD+CD=20+ （m）．………………………………………………5分
答：这栋楼高为（20+ ）m．
17．（1）证明：∵ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B．…………………………………………………………1分
∵ ，
∴ ∠B=∠D，
∴ ∠BCO=∠D．…………………………………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ CE= ．……………………………………………3分
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，
∴ ，…………………………………………………4分
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．………………………………………………………5分
18．解：（1）把A（2，3）代入 ，∴ ．
∴ m=6．
∴ ．…………………………………………………………………1分
把A（2，3）代入y=kx+2，
∴ 2k+2=3，……………………………………………………………………2分
∴ ．
∴ ．………………………………………………………………3 分
（2）P1（1，6）或P2（－1，－6）．…………………………… ……………5分
四、解答题（本题共20分，每题5分）
19．解：（1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．………………………………1分
∵ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴ ．
设CD=3k，则AB=AC=5k．
∴AD= ，…2分
∴BD=AB－AD=5k－4k=k，
∴ ． …………………………………………………3分
（2）在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
∴BC= ．
∵BC=10，∴ ，…………………………………………………4分
∴ ．
∴AB=5k= ．………………………………………………………5分
20．解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）.
∴ ………………………………………………………1分
解得 ……………………………………………………………2分
∴抛物线的表达式为y=－x2－2x+3．……………………………………3分
（2）正确画出图象．…………………………………………………………4分
（3） 2＜t≤4．……………………………………………………………………5分
21．（1）证明：连结AE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°.
∵BF是⊙O的切线，
∴BF⊥AB，
∴∠CBF +∠2=90°.
∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1分
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴∠1= ∠CAB.
∴∠CBF= ∠CAB. ……………………………………………………2分
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G.
∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= .
∵∠AEB=90°，AB=5.
∴BE=AB?sin∠1= .
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE= .…………………………………………………………3分
在Rt△ABE中，由勾股定理得 .
∴sin∠2= ，cos∠2= .
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2.
∴AG=3. ……………………………………………………………………4分
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF.
∴ ，
∴ .…………………………………………………5分
22．解：图1中∠PP′C的度数等于90°．………………………………………………1分
图1中∠APB的度数等于150°．………………………………………………3分
如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD．
∵点A的坐标为（ ，1），
∴tan∠AOE= ，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠A OD=60°．
∴△AOD是等边三角形． ………………………………………………………4分
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAB，
∴△ADC≌△AO B．
∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF= CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，
∴y－2= x，
∴y= x+2（x＞0）．………………………………………………………5分
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（1）证明：∵m≠0，
∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程.
∴△=(3m+1)2－12m………………………………………………………1分
=(3m－1)2．
∵ (3m－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根. ……………………………………………… 2分
（2）解：由求根公式，得x1=－3，x2= ． ……………………………………3分
∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，
∴m=1．……………………………………………………………………4分
（3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3．
∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示．…………………………………………5分
当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．
当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．
∴1＜b＜3． …………………6分
当直线y=x+b与y=－x2－4x－3
的图象有唯一公共点时，
可得x+b=－x2－4x－3，
∴x2+5x+3+b=0，
∴△=52－4(3+b) =0，
∴b= ．
∴b＞ ．…………………………………………………………………7分
综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞ ．
24．解：（1）① 如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°．………………………………………………………1分
∴∠1+∠3=90°．
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．……………………2分
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3分
② 如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ ．∴CP= AD=4．
设OP=x，则CO=8－x．
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．…………………………………………4分
解得：x=5．
∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5分
∴边AB的长为10．
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ．又BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= PQ．
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．
又∵∠QFM=∠NFB，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF= QB．
∴ EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．……………………………………6分
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB= ，∴EF= PB= ．
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的
长度为 ．………………………………………………… …………7分
25．解：（1）由题意得，(2+x)(3+y)=8．
∴ ．
∴ ．…………………………………………………1分
根据定义， 是奇特函数．…………………………………2分
（2）由题意得，B（6，3）、D（3，0），
∴点E（2，1）．……………………………………………………………3分
将点B（6，3）和E（2，1）代入 得
……………………………………………………………4分
解得
∴奇特函数的表达式为 ．……………………………………5分
（3）2．………………………………………………………………………6分
（4）P1（ ， ）、P2（ ， ）．…………………………8分
说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，谢谢！