海淀区2015初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)
一、选择题
1．方程 的根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根
2.在Rt△ABC中，∠C=90o， ，则 的值为
A. B. C. D.
3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几 何体是
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是
A. B. C. D.
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为
A． B． C．1 D．2
8．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的
图1 图2
A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm2．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m.
11．如图，抛物线 与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为 ， ，则关于x的方程 的解为__________．
12．对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如： ， ．
规定 ， （ 为正整数）．例如： ， ．
（1）求： ____________， ______________；
（2）若 ，则正整数m的最小值是_____________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.计算： .
14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．
15.已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 的值．
16.抛物线 平移后经过点 ， ，求平移后的抛物线的表达式．
17.如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数 图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求 的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求m的取值范围；
（2）若 ，且 ，求整数m的值．
20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 …
… 50
单件利润（万元） 6 8 …
… 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．
22．阅读下面材料：
小明观察一个由 正方形点阵组成的点 阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出 的 正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足 于F，再作出点阵中 的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=_______________； = _______________；
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，计算： =_______________．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分）
23.在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ， .
（1） 求代数式mn的值；
（2） 若二次函数 的图象经过点B，求代数式 的值；
（3） 若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直线 的下方，结合函数图象，求 的取值范围.
24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD， 连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段
AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
连接BF，AF．
① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
25. 在平面直角坐标系xOy中，设点 ， 是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若 的最大值为m， 的最大值为n，则 为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2， 取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积 ．
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；
（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
海淀区2015初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分参考
阅卷须知:
1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A A D C B B C B
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． ； 10． 24 ；
11． ； 12． （1）37，26； （每个答案1分）（2）6.（2分）
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解：原式 ……………………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………………………5分
14. （本小题满分5分）
证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．……… …………………………………………………………………1分
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADC=∠BEC． ……………………………………………………………………2分
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD∽△BCE．………………………………………………………………………5分
15. （本小题满分5分）
解：由已知，可得 ．………………………………………………………1分
∴ ． ………………………………………………………………………2分
∴原式= ．………………………………………………5分
16. （本小题满分5分）
解：设平移后抛物线的表达式为 ．………………………………………1分
∵平移后的抛物线经过点 ， ，
∴ ………………………………………………………………………3分
解得 …………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为 ．……………………………………5分
解二：∵平移后的抛物线经过点 ， ，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线 . …………………………………………1分
∴设平移后抛物线的表达式为 ．…………………………………2分
∴ ．.………………………………………………………………3分
∴ ．.………………………………………………………………………………4分
所以平移后抛物线的表达式为 ． …………………………………5分
17. （本小题满分5分）
解：（1）将 代入 中，得 ．
∴点A坐标为 ．………………………………………………………………1分
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴ ．……………………………………………………………………2分
∴反比例函数的解析式为 ．…………………………………………………3分
（2） 或 ．……………………………………………………………5分
18. （本小题满分5分）
解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°， ， BC=8，
∴ ．…………………………………………………………1分
∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴ ．…………………………………………………………………2分
（2）法一：过点C作CF⊥AB于F，如图．
∴∠CFD=90°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得 ．
∵ ，
∴ ．………………………………3分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠ABE=∠DCF．………………………………………4分
∴ ． …………………………………5分
法二：∵D是AB中点，AB=10，
∴ ．……………………………………………………………………3分
∴ ．
在Rt△ABC中，由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ ． ………………………………………………4分
∵BE⊥CE，
∴∠BED=90°．
∴ ．……………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（本小题满分5分）
解：（1）由已知，得 且 ，
∴ 且 ．…………………………………………………………………2分
（2）原方程的解为 ．
∴ 或 ． …………………………………………………………………3分
∴ ．
又∵ ，
∴ ．……………………………………………………………………4分
∵m是整数，
∴ ．…………………………………………………………………………5分
20. （本小题满分5分）
解：（1） ． ……………………………2分
（ 且x为整数）．
（2）∵ ．…………………………3分
又∵ 且x为整数，
∴当 时，函数取得最大值1210．
答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．
………………………………………………………………5分
21. （本小题满分5分）
解：（1）连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°．……………………………………1分
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．…………………………………………………………2分
（2） ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，
∴ ．
设⊙O的半径为r，则 ， ．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴ ．
∴ ．
解得 ．…………………………………………………………………………3分
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°．
∴△OCE∽△CPE．……………………………………………………………………4分
∴ ．
∴ ．
∴ ．……………………………………………………………………………5分
22.（本小题满分5分）
（1）如图，线段CD即为所求；……………………1分
（2）OC= ， =5；……………………3分
（3） = ．…………………………………5分
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．（本小题满分7分）
解：（1）∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．………………………………………………………………………1分
∴反比例函数的解析式为 ．
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．………………………………………………………………………2分
（2）∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ．…………………………………………………………………3分
∴ ．
∴ ．
由（1）得 ，
∴原式
．……………………………………………………………………4分
（3）由（1）得反比例函数的解析式为 ．
令 ，可得 ，解得 ．
∴反比例函数 的图象与直线 交于
点 ， ．…………………………5分
当二次函数 的图象经过点 时，可得 ；
当二次函数 的图象经过点 时，可得 ．
∵二次函数 的顶点为 ，
∴由图象可知，符合题意的 的取值范围是 或 ．…………7分（注：只写 或只写 ， 减1分.）
24. （本小题满分7分）
（1） AD+DE=4．…………………………………………1分
（2）① 补全图形，如右图所示．……………………2分
解： 设DE与BC相交于点H，连接 AE，
交BC于点G，如图．
∠ADB=∠CDE =90°，
∴∠ADE=∠BDC．
在 △ADE与△BDC中，
∴△ADE ≌△BDC．……………………………………3分
∴AE= BC ，∠AED=∠BCD．
DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC．
∴∠EGH=∠EDC=90°．…………………………………………………………………………4分
线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF = CB=4， EF // CB．
∴AE= EF． CB//EF，∴∠AEF=∠EGH=90°．
AE=EF，∠AE F=90°，∴∠AFE=45°．
∴AF= =4 ． …………………………………………………………………………5分
② ． ………………………………………………………………………………7分
25.（本小题满分8分）
解：（1）① 1；………………………………………………………………………………1分
② 1．…………………………………………………………………………………2分
（2） 2． …………………………………………………………………………………4分
（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．
当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．
………………………………5分
当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．
过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，
过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点
G，则可得四边形EFGH是矩形．
当点P，Q分别与点A，C重合时， 取得最大值 ，
且最大值 ；
当点P，Q分别与点B，D重合时， 取得最大值 ，且最大值 ．
∴图形W的测度面积 ．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°．
∴∠BAE=∠CBF．
又∵ ，
∴△ABE∽△BCF．…………………………………………………………………………6分
∴ ．
设 ，则 ，
在Rt△ABE中，由勾股定理得 ．
∴ ．即 ．∵ ，∴
易证△ABE≌△CDG． ∴ ．
∴ ， ．
∴
∴当 ，即 时，测度面积S取得最大值 ．…………7分
∵ ，∴ ．∴ ．
∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为 ．
综上所述，测度面积S的取值范围是 ．……