海淀区2015初三年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有 四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A． B． C． D．
2． 下列图形是中心对称图形的是
A ． B． C． D．
3．二次函数 的最大值是
A． B． C．1 D．2
4．已知⊙O的半径是4，OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．将抛物线 沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为
A． B． C． D．
6．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为
A． B． C． D．
7．用配方法解方程 ，下列配方正确的是
A． B． C． D．
8．已知二次函数 的图象如图所示，则下列选
项中不正确的是
A． B．
C．0 D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若 ，则 等于
A． B． C． D．
10．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如下表：
x/分 … 2.66 3.23 3.46 …
y/米 … 69.16 69.62 68.46 …
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是
A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．方程 的解为_______________．
12. 请写出一个开口向上且经过(0, 1)的抛物线的解析式_________．
13．若二次函数 的图象上有两个点 、 ，
则a____ （填“”或“=”或“”）．
14．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC=______°．
15．用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上（如示意图），若四周下垂的最大长度相等，则这个最大长度x为_______米（ 取1.4）．
16．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转 （ ），得到 、 、 ，连接 、 、 、 、 ．
（1） _______?；
（2）当 ?时，△ 的周长最大．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解方程： ．
18．若抛物线 与 轴只有一个交点，求实数 的值．
19．已知点(3, 0)在抛物线 上，求此抛物线的对称轴．
20．如图，AC是⊙O的直径，PA, PB是⊙O的切线，A, B为切点， ．求∠P的度数．
21．已知x=1是方程 的一个根，求代数式 的值．
22．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
23．已知关于x的方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
24．在设计人体雕像时，若使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比，则可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高（ 取2.2 ）．
25．已知AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的弦，AB=2，AC= ，AD=1，求∠CAD的度数．
26．抛物线 与直线 相交于A 、B 两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若 ，则 的最小值为________.
27.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D. P为AB延长线上一点， .
（1）求证：CP为 ⊙O的切线；
（2）BP=1， .
①求⊙O的半径；
②若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为 .
28.探究活动：
利用函数 的图象(如图1)和性质，探究函数 的图象与性质.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)函数 的自变量x的取值范围是___________；
(2)如图2，他列表描点画出了函数 图象的一部分，请补全函数图象；
解决问题：
设方程 的两根为 、 ，且 ，方程 的两根为 、 ，且 .若 ，则 、 、 、 的大小关系为 （用“”连接）．
29．在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q. 点N为x轴上一动点（N不与A重合 ），将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P. PQ与x轴所夹锐角为 .
（1） 如图1，若点M的横坐标为 ，点N与点O重合，则 =________?；
（2） 若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求 的度数；
（3） 当直线PQ与⊙O相切时，点 的坐标为_________.
海淀区2015初三年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D A A A B B C D B C
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题 号 11 12 13 14 15 16
答 案
（答案不唯一） 130 0.6 120，150
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解： ……………………………………………1分
． ……………………………………………3分
∴ 或 ．
∴ . ………………………………………………………5分
18．解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴ ，………………………………………2分
即 ．……………………………………………4分
∴ ．……………………………………………5分
19．解：∵点(3, 0)在抛物线 上，
∴ ．………………………………………2分
∴ ．……………………………………………3分
∴抛物线的解析式为 ．
∴对称轴为 ．……………………………………………5分
20．解：∵PA,PB是⊙O的切线，
∴PA=PB．…………………………… …………1分
∴ ．………………………………………2分
∵AC为⊙O的直径，
∴CA⊥PA．
∴ o．………………………………………3分
∵ o，
∴ o．………………………………………4分
∴ o．………………………………………5分
21．解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．………………………………………2分
∴ ．…………………………………………3分
∴原式 ………………………………………4分
．………………………………………5分
22．解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA, OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．………………………… 1分
∴ o.
∵AB∥CD，
∴ o．
∵ ， ，
∴ ， ． …………………………2分
在Rt△OAM中，
∵ ，
∴ ． ………………………………3分
同理可得 ．………………………………4分
∴
答：水面下降了0.2米．…… ……………………5分
23．（1）证明： ．……………………………1分
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分
（2）解方程，得 ．……………………………………………4分
∵方 程有一个根大于2，
∴ ．
∴ ．……………………………………………5分
24．解：如图，雕像上部高度AC与下部高度BC应有 ，即 ．
设BC为x m. …………………………………1分
依题意，得 ．.………………………………………3分
解得 （不符合题意，舍去）．……4分
．
答：雕像的下部应设计为1.2m．…………………………5分
25． 解：如图1，当点D、C在AB 的异侧时，连接OD、BC. ………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴ o．
在Rt△ACB中，
∵ ， ，
∴ ．
∴ o．………………2分
∵ ，
∴ o．………………3分
∴ o．………………4分
当点D、C在AB 的同侧时，如图2，同理可得 ， ．
∴ o．
∴ 为15o或 o． …………………5分
26．解：（1）∵直线 经过点B（2，-3），
∴ ．
∴ ．……………………………………………1分
∵直线 经过点A（-2，n），[
∴ ．……………………………………………2分
∵抛物线 过点A和点B，
∴
∴
∴ ．……………………………………………4分
（2） . ……………………………………………5分
27．（1）证明：连接OC. ……………………………1分
∵∠PCD=2∠BAC，∠POC=2∠BAC，
∴∠POC =∠PCD．……………………………2分
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ODC=90?．
∴∠POC+∠OC D =90o．
∴∠PCD+∠OCD =90o．
∴∠OCP=90o．
∴半径OC⊥CP．
∴CP为⊙O的切线． ……………………………………………3分
（2）解：①设⊙O的半径为r .
在Rt△OCP中， ．
∵
∴ ． ………………………4分
解得 ．
∴⊙O的半径为2． ……………………………………………5分
② ． ……………………………………………7分
28．解：（1） 或 ；……………………………………………2分
（2）如图所示：
……………………………………5分
. .……………………………………………7分
29. 解：（1） . ……………………………………………2分
（2）
.……………………………………………3分
连接 .记 分别交 轴于 .
∵将点M绕点A顺时针旋转60?得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60?得到点P，
∴△ 和△ 均为等边三角形. ………………4分
∴ ， ， .