湘教版2015初三数学上册期中二次函数试题(含答案解析)
一．选择题（共8小题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
2．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
3．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）
A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2
4．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线 上，则下列结论正确的是（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
5．二次函数 的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）
A．3.125 B．4 C．2 D．0
6．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
7．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）
A． B． C． D．
8．如图，已知二次函数y1= x2﹣ x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2，则x的取值范围是（）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
二．填空题（共8小题）
9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第象限．
10．二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．
11．抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a=．
12．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．
13．若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．
14．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
15．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中所有正确结论的序号是．
三．解答题（共6小题）
17．已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，2），（3，2），（2，3）．
（1）请在图中画出△ABC向下平移3个单位的像△A′B′C′；
（2）若一个二次函数的图象经过（1）中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．
19．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点C在反比例函数y= （k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．
20．某校为绿化校园，在一块长为15米，宽为10米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙（墙长大于15米），并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为x米，花圃面积为为y平方米，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
21．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克） … 50 60 70 80 …
销售量y（千克） … 100 90 80 70 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
湘教版2015初三数学上册期中二次函数试题(含答案解析)参考答案：
一．选择题（共8小题）
1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C
二．填空题（共8小题）
9.一 10. （ 2，﹣7 ） 11. 12. y=2（x+1）2﹣2
13.-3 14.22 15. x1=﹣1或x2=3 16. ① ④
三．解答题（共6小题）
17．解：（1）将A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c，
得 ，
解得 ，
所以此函数的解析式为y=﹣2x2﹣4x+4；
y=﹣2x2﹣4x+4=﹣2（x2+2x+1）+2+4=﹣2（x+1）2+6；
（2）∵y=﹣2（x+1）2+6，
∴C（﹣1，6），
∴△CAO的面积= ×4×1=2．
18．解：（1）如图：
（2）由题意得A′，B′，C′的坐标分别是（0，﹣1），（3，﹣1），（2，0），
设过点A′、B′、C′的二次函数的关系式为y=ax2+bx+c，
则有 ，
解得 ，
∴二次函数的关系式为 ．
19．解：（1）令y=0，得到x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x=1或3，
则A（1，0），B（3，0），
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
20． 解：设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为（15﹣2x），宽为（10﹣x），根据题意得
y=（15﹣2x）（10﹣x），
由 ，
解得0＜x＜7.5．
21．解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得 ．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（ ， ）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2（n﹣ ）2+ ，
∵PC＞0，
∴当n= 时，线段PC最大且为 ．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3﹣1，过点A（ ， ）作AN⊥x轴于点N，则ON= ，AN= ．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN= ，∴OM=ON+MN= + =3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则： ，解得 ，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x= （与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3﹣2，作点A（ ， ）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（ ， ）．
当x= 时，y=x+2= ．
∴P2（ ， ）．
∵点P1（3，5）、P2（ ， ）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（ ， ）．