2015初三数学上学期期中一元二次方程试题(含答案解析)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 －12x+35=0的根，则该三角形的周长是（ ）
A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
2. 方程(x－2)(x+3)=0的解是（ ）
A.x=2 B.x=－3
C.x1=－2，x2=3 D.x1=2，x2=－3
3．要使方程 + 是关于 的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
5．已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则 的值是（ ）
A.7 B.－7
C.11 D.－11
6．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是（ ）
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）
A. = B. = C.1+2x= D.1+2x=
8. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A.438 =389 B.389 =438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389
9.关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是________．
12．若一元二次方程a －bx－2 015=0有一根为x=－1，则a+b
= .
13．若|b－1|+ =0，且一元二次方程k +ax+b=0（k≠0）有实数根，则k的取值范围是 .
14．若（ 是关于 的一元二次方程，则 的值是________．
15．若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______．
16.若矩形的长是 ，宽是 ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
17．解一元二次方程 时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程_________.
18．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 .
三、解答题（共46分）
19.（6分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3） 的解．
20.（6分）已知关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根，求m的值.
21．（6分）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.
22．（6分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
23.（6分）已知关于 的方程（ 的两根之和为 ，两根之差为1，其中 是△ 的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ 的形状．
24．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为 .
（1）用含 的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分 率 .
25．（8分）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程 千米，应收 元”．该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价 是多少元．
里程（千米）
价格（元）
2015初三数学上学期期中一元二次方程试题(含答案解析)参考答案及评分标准
1. B 解析：解方程 -12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.
2. D 解析：由（x-2）(x+3)=0，得x-2=0或x+3=0，解得 =2， =-3.
3. B 解析：由 ，得 ．
4. C 解析： 把A，B选项中a，b，c的对应值分别代入 中，A，B选项中 ，故A，B选项中的方程都没有实数根；而D选项中，由 得 －1，因为 ，所以 没有实数根；只有C选项中的方程有实数根.
5. A 解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.
可以把a和b看作是方程 －6x+4=0的两个实数根，
∴ a+b=6，ab=4，∴ 7.
点拨：一元二次方程根与系数的关系常见的应用有：验根、确定根的符号；求与根相关的代数式的值；由根求出新方程等.
6.B 解析：设原来正方形木板的边长为x m．
由题意，可知x(x-2)=48，即x2-2x-48=0，
解得x1=8，x2=-6（不合题意，舍去）．
所以原来这块正方形木板的面积是8×8=64（m2）．
点拨：本题考查了一元二次方程的应用，理解从一块正方形木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，是解本题的关键．
7. B 解析：设此股票原价为a元，跌停后的价格为0.9a元.
如果每天的平均增长率为x，经过两天涨价后的价格为0.9a ，
于是可得方程0.9a =a，即x满足的方程是 = .
8. B 解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
得去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，
今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）（1+x）=389 （元），
根据关键语句“今年上半年发放了438元”，可得方程389 =438.
点拨：关于增长率问题一般列方程a(1+x)n=b，其中a为基础数据，b为增长后的数据，n为增长次数，x为增长率.
9. A 解析：因为 +
4＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为
又因为 分别是三角形的三边长，
所以
所以 所以方程没有实数根.
11． 解析：不可忘记 ．
12．2 015 解析：把x= -1代入方程中得到a+b-2 015=0，即a+b=2 015.
13．k≤4且k≠0 解析：因为|b-1|≥0， ≥0，
又因为|b－1|+ =0，所以|b-1|=0， =0，
即b－1=0，a－4=0，所以b=1，a=4.
所以一元二次方程k +ax+b=0变为k +4x+1=0.
因为一元二次方程k +4x+1=0有实数根，
所以Δ=16－4k≥0，解得k≤4.
又因为k≠0，所以k≤4且k≠0.
14． 解析：由题意得 解得 或 ．
15．1 解析：由 ，得 ，
原方程可化为 ，
解得 ．
16． 解析：设正方形的边长为 ，
则 ，解得 ，
由于边长不能为负，故 舍去，
故正方形的边长为 ．
17. 或 解析：将 分解因式，得 .
， ，则有 或 .
18. x2－5x+6=0（答案不唯一） 解析：设Rt△ABC的两条直角边的长分别为a，b.因为 S△ABC=3，所以ab=6.又因为一元二次方程的两根为a，b(a＞0，b＞0)，所以符合条件的一元二次方程为(x－2)(x－3)=0或(x－1)(x－6)=0等，即x2－5x+6=0或x2－7x+6=0等.
19.解：∵ ，
∴ ．
∴ ，∴ ，∴ ．
20. 解：∵ 关于x的方程 +(2m 1)x+4=0有两个相等的实数根，
∴ Δ= 4×1×4=0，
∴ 2m 1=±4，∴ m= 或m= .
点拨：判断一元二次方程根的情况时要分 4ac（即Δ）的值大于零、等于零、小于零三种情况来判断.当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根.特别地，当Δ≥0时，方程有两个实数根.反之亦成立.
21．解：设小正方形的边长为 .
由题意，得
解得
所以截去的小正方形的边长为 .
22．解：解方程 ，
得 ．
方程 的两根是 ．
所以 的值分别是 ．
因为 ，
所以以 为边长的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用三角形的三边关系来判断．
23．解：（1）设方程的两根为 ，
则
解得
（2）当 时， ，
所以 .
当 时，
所以 .
所以 .所以△ 为等边三角形．
24．解：（1） .
（2）根据题意，得 .
解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
故可变成本平均每年增长的百分率是10%．
25．解：依题意，得 ，
整理，得 ，
解得 .
由于 ，所以 舍去，
所以 ．
答：起步价是10元．