江苏省南通市2015初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)
一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)
1.抛物线y=2(x+1)2﹣3的顶点坐标是( )
A.(1,3)
B.(﹣1,3)
C.(1,﹣3)
D.(﹣1,﹣3)
2.已知函数 ,当函数值y随x的增大而减小时,x的取值范围是( )
A.x<1
B.x>1
C.x>﹣2
D.﹣2<x<4
3.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=(x﹣1)2﹣2
D.y=(x+1)2﹣2
4.若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y2>y1
D.y3>y1>y2
5.抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.以上都不对
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=ax+b的图象是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A.﹣1≤x≤3
B.﹣3≤x≤1
C.x≥﹣3
D.x≤﹣1或x≥3
8.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
9.如图,有一座抛物线形拱桥,当水位线在AB位置时,拱顶(即抛物线的顶点)离水面2m,水面宽为4m,水面下降1m后,水面宽为( )
A.5m
B.6m
C.m
D.2m
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(本题共10小题,每题4分,共4 0分)
11.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=__________,x=﹣1对应的函数值y=__________.
12.将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=(x﹣h)2+k的形式,则__________.
13.抛物线y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的对称轴是直线__________.
14.若二次函数y=(m+1)x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值,则m=__________.
15.抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公 共点,则m的值为__________.
16.若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1,则b的值为__________.
17.若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3,则a=__________.
18.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为__________.
19.如图,一拱桥呈抛物线状,桥的最大高度是32m,跨度是80m,在线段AB上距离中心M20m的D处,桥的高度是__________m.
20.二次函数y=x2+b x的图象如图,对称轴为x=﹣2.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5<x<2的范围内有解,则t的取值范围是__________.
三、解答题(本题共7小题,共80分)
21.已知二次函数y=﹣x2+4x+5.
(1)用配方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
22.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
23.如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
24.某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中;
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
25.如图,有一个长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为15米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成花圃的面积为36平方米,求AB的长为多少米?
(3)如果要使围成花圃面积最大,求AB的长为多少米?
26.(14分)某公司为一工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家 负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).
(1)当 每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x的函数关系式( 不要求写出x的取值范围);
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
27.(14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
江苏省南通市2015初三数学上册数学期中试卷(含答案解析)参考答案及试题解析:
一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)
1.抛物线y=2(x+1)2﹣3的顶点坐标是( )
A.(1,3)
B.(﹣1,3)
C.(1,﹣3)
D.(﹣1,﹣3)
考点:二次函数的性质.
分析:已知抛物线解析式为顶点式,可直接求出顶点坐标.
解答: 解:∵y=2(x+1)2﹣3是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣1,﹣3) ,故选D.
点评:考查求二次函数顶点式y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标、对称轴.
2.已知函数 ,当函数值y随x的增大而减小时,x的取值范围是( )
A.x<1
B.x>1
C.x>﹣2
D.﹣2<x<4
考点:二次函数的性质.
分析:函数 ,由于a= >0,开口向上,则先求出其对称轴,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;对称轴右侧,y随x的增大而增大.
解答: 解:函数y= x2﹣x﹣4,对称轴x=1,又其开口向上,
则当x>1时,函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而增大,
当x<1时,函数y= x2﹣x﹣4随x的增大而减小.
故选:A.
点评:本题考查了二次函数的性质,重点是对称轴两侧函数的单调增减问题.
3.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )
A.y=(x﹣1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=(x﹣1)2﹣2
D.y=(x+1)2﹣2
考点:二次函数图象与 几何变换.
分析:根据函数图象右移减、左移加,上移加、下移减,可得答案.
解答: 解:将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是 y=(x﹣1)2+2,
故选:A.
点评:本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象右移减、左移加,上移加、下移减是解 题关键.
4.若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y2>y1
D.y3>y1>y2
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
分析:先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3,然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系.
解答: 解:∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
∵A(﹣1,y1),B(1,y2),C(4,y3),
∴点A离直线x=3最远,点C离直线x=3最近,
而抛物线开口向下,
∴y3>y2>y1;
故选C.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
5.抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.以上都不对
考点:抛物线与x轴的交点.
分析:让函数值为0,得到一元二 次方程,根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点.
解答: 解:当与x轴相交时,函数值为0.
0=﹣x2+2kx+2,
△=b2﹣4ac=4k2+8>0,
∴方程有2个不相等的实数根,
∴抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个,
故选C.
点评:用到的知识点为:x轴上的点的纵坐标为0;抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同.
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数y=ax+b的图象是( )
A.
B.
C.
D.
考点:二次函数的图 象;一次函数的图象.
分析:根据抛物线开口向下确定出a<0,再根据对称轴确定出b,然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解.
解答: 解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ >0,
∴b>0,
∴函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交,
故选B.
点评:本题考查了二次函数图象,一次函数图象,根据抛物线的开口方向与对称轴确定出a、b的正负情况是解题的关键.
7.已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A.﹣1≤x≤3
B.﹣3≤x≤1
C.x≥﹣3
D.x≤﹣1或x≥3
考点:二次函数的图象.
分析:认真观察图中虚线表示的含义,判断要使y≥1成立的x的取值范围.
解答: 解:由图可知,抛物线上纵坐标为1的两点坐标为(﹣1,1),(3,1),
观察图象可知,当y≥1时,x≤﹣1或x≥3.
故选:D.
点评:此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.
8.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
考点:抛物线与x轴的交点.
专题:压轴题.
分析:根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为﹣3,判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=﹣2时x的值.
解答: 解:∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,顶点坐标的纵坐标是﹣3,
∵方程ax2+bx+c+2=0,
∴ax2+bx+c=﹣2时,即是y=﹣2求x的值,
由图象可知:有两个同号不等实数根.
故选D.
点评:考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情况,先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标,再通过图象可得到答案.
9.如图,有一座抛物线形拱桥,当水位线在AB位置时,拱顶(即抛物线的顶点)离水面2m,水 面宽为4m,水面下降1m后,水面宽为( )
A.5m
B.6m
C.m
D.2m
考点:二次函数的应用.
分析:以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,抛物线的解析式为y=ax2将A点代入抛物线方程求得a,得到抛物线解析式,再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x0,进而得到答案.
解答: 解:如图,以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,
设抛物线方程为y=ax2,
将A(﹣2,﹣2)代入y=ax2,
解得:a=﹣ ,
∴y=﹣ x2,
代入D(x0,﹣3)得x0= ,
∴水面宽CD为2 ≈5,
故选A.
点评:本题主要考查二次函数的应用.建立平面直角坐标系求出函数表达式是解决问题的 关键,考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:代数几何综合题;压轴题;数形结合.
分析:根据抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随 x的增大而减小.
解答: 解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,
∴b=﹣4a,即4a+b=0,(故①正确);
∵当x=﹣3时,y<0,
∴9a﹣3b+c<0,
即9a+c<3b,(故②错误);
∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
而b=﹣4a,
∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴8a+7b+2c>0,(故③正确);
∵对称轴为直线x=2,
∴当﹣1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,
当x>2时,y 随x的增大而减小,(故④错误).
故选:B.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项 系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
二、填空题(本题共10小题,每题4分,共40分)
11.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=2,x=﹣1对应的函数值y=﹣22.
考点:二次函数的性质.
分析:由表格的数据可以看出,x=1和x=3时y的值相同都是﹣6,所以可以判断出点(1,﹣6)和点(3,﹣6)关于二次函数的对称轴对称,利用公式:x= 可求出对称轴;利用表格中数据反映出来的对称性,结合对称轴x=2,可判断出x=﹣1时关于直线x=2对称的点为x=5,故可求出y=﹣22.
解答: 解:∵x=1和x=3时y的值相同都是﹣6,
∴对称轴x= =2;
∵x=﹣1的点关于对称轴x=2对称的点为x=5,
∴y=﹣22.
故答案为:2,﹣22.
点评:此题考查二次函数的性质,掌握二次函数的对称性,会利用表格中的数据规律找到对称点,确定对称轴,再利用对称轴求得对称点.
12.将二次函数y=x2﹣2x﹣3化为y=(x﹣h)2+k的形式,则y=(x﹣1)2﹣4.
考点:二次函数的三种形式.
分析:利用配方法整理即可得解.
解答: 解:y=x2﹣2x ﹣3
=(x2﹣2x+1)﹣3﹣1
=(x﹣1)2﹣4,
即y=(x﹣1)2﹣4.
故答案为:y=(x﹣1)2﹣4.
点评:本题考查了二次函数的三种形式的转化,熟练掌握和运用配方法是解题的关键.
13.抛物线y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的对称轴是直线x=1.
考点:二次函数的性质.
分析:先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a,由公式x= 得抛物线的对称轴为x=1.
解答: 解:y=a(x+1)(x﹣3)
=ax2﹣2ax﹣3a
由公式 得,
抛物线的对称轴为x=1.
点评:本题考查抛物线的对称轴的求法,同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式x= .
14.若二次函数y=(m+1)x2+m2﹣9的图象经过原点且有最大值,则m=﹣3.
考点:二次函数的最值.
分析:此题可以将原点坐标(0,0)代入y=(m+1)x2+m2﹣9,求得m的值,然后根据有最大值确定m的值即可.
解答: 解:由于二次函数y=(m+1)x2+m2﹣9的图象经过原点,
代入(0,0)得:m2﹣9=0,
解得:m=3或m=﹣3;
又∵有最大值,
∴m+1<0,
∴m=﹣3.
故答案为:﹣3;
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,通过代入点的坐标即可求解,较为简单.
15.抛物线y=x2+6x+m与x轴只有一个公共点,则m的值为9.
考点:抛物线与x轴的交点.
专题:计算题.
分析:利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=62﹣4m=0,然后解关于m的一次方程即可.
解答: 解:根据题意得 △=62﹣4m=0,解得m=9.
故答案为9.
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程.对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
16.若抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1,则b的值为﹣ .
考点:二次函数的性质.
分析:利用二次函数的对称轴计算方法x=﹣ ,求得答案即可.
解答: 解:∵抛物线y=bx2﹣x+3的对称轴为直线x=﹣1,
∴x=﹣ =﹣1,
解得b=﹣ .
故答案为:﹣ .
点评:此题考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点坐标公式是解决问题的关键.
17.若二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3,则a=1.
考点:二次函数的最值.
分析:根据题意:二次函数y=ax2﹣4x+a的最小值是﹣3,则判断二次函数的系数大于0,再根据公式y最小值= 列出关于a的一元二次方程,解得a的值即可.
解答: 解:∵二次函数y=ax2﹣4x+a有最小值﹣3,
∴a>0,
y最小值= =﹣3,
整理,得a2+3a﹣4=0,
解得a=﹣4或1,
∵a>0,
∴a=1.
故答案为:1;
点评:本题主要考查二次函数的最值的知识点,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好.
18.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为2 .
考点:抛物线与x轴的交点.
专题:计算题.
分析:通过解方程x2﹣2x﹣1=0可得到抛物线与x轴的两交点坐标,然后计算两交点间的距离即可.
解答: 解:当y=0时,x2﹣2x﹣1=0,
x2﹣2x+1=2,
(x﹣1)2=2,
解得x1=1+ ,x2=1﹣ ,
所以抛物线与x轴的两交点坐标为(1﹣ ,0),(1+ ,0),
所以抛物线在x轴上截得的线段长=1+ ﹣(1﹣ )=2 .
故答案为 .
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程.
19.如图,一拱桥呈抛物线状,桥的最大高度是32m,跨度是80m,在线段AB上距离中心M20m的D处,桥的高度是24m.
考点:二次函数的应用.
分析:根据题意假设解析式为y=ax2+bx+c,用待定系数法求出解析式.然后把自变量的值代入求解对应函数值即可.
解答: 解:设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
已知抛物线经过(0,32),(﹣40,0),(40,0),
可得 ,
可得a=﹣ ,b=0,c=32,
故解析式为y=﹣ x2+32,
当x=20时,y=24.
故答案为:24.
点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
20.二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为x=﹣2.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5<x<2的范围内有解,则t的取值范围是﹣4≤t<12.
考点:抛物线与x轴的交点.
专题:计算题.
分析:先利用对称轴方程求出b得到抛物线解析式为y=x2+4x,再配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4),接着根据二次函数的性质,运用函数图象求出当﹣5<x<2时,对应的函数值的范围为﹣4≤y<12,由于关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5<x<2的范围内有解,则抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点,然后借助图象可得到﹣4≤t<12.
解答: 解:∵﹣ =﹣2,解得b=4,
∴抛物线解析式为y=x2+4x,即y=(x+2)2﹣4,
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4),
当x=2时,y=x2+4x=12,
∴当﹣5<x<2,﹣4≤y<12,
∵一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)的解可看作抛物线y=x2+bx与直线y=b的交点的横坐标,
∴关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5<x<2的范围内有解时,抛物线y=x2+bx与直线y=t有交点,如图,
∴﹣4≤t<12.
故答案为﹣4≤t<12.
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数图象的交点问题.运用数形结合的思想是解决本题的关键.
三、解答题(本题共7小题,共80分)
21.已知二次函数y=﹣x2+4x+5.
(1)用配 方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
考点:二次函数的三种形式.
分析:(1)先配方,得到二次函数的顶点坐标式,即可直接写出其对称轴和顶点坐标;
(2)令y=0,求出x的值,即可确定函数图象与x轴的交点坐标;令x=0,求出y的值,即可确定函数图象与y轴的交点坐标.
解答: 解:(1)y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
对称轴为:x=2,顶点坐标:(2,9);
(2)令y=0,得﹣x2+4x+5=0,
解得x1=﹣1,x2=5,
所以图象与x轴的交点坐标为:(﹣1,0)与(5,0);
令x=0,得y=5,
所以图象与y轴的交点坐标为:(0,5).
点评:本题考查了二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;
(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
同时考查了函数图象与坐标轴的交点坐标的求 法.
22.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
考点:二次函数与不等式(组);待定系数法求二次函数解析式.
分析:(1)分别把点A(1,0),B(3,2)代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c,利用待定系数法解得y=x﹣1,y=x2﹣3x+2;
(2)根据题意列出不等式,直接解二元一次不等式即可,或者根据图象可知,x2﹣3x+2>x﹣1的图象上x的范围是x<1或x>3.
解答: 解:(1)把点A(1,0),B(3,2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得:
0=1+m, ,
∴m=﹣1,b=﹣3,c=2,
所以y=x﹣1,y=x2﹣3x+2;
(2)x2﹣3x+2>x﹣1,解得:x<1或x>3.
点评:主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质.要具备读图的能力.
23.如图,二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(﹣4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征.
分析:(1)把点A原点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离,然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可.
解答: 解:(1)由已知条件得 ,
解得 ,
所以,此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x;
(2)∵点A的坐标为(﹣4,0),
∴AO=4,
设点P到x轴的距离为h,
则S△AOP= ×4h=8,
解得h=4,
①当点P在x轴上方时,﹣x2﹣4x=4,
解得x=﹣2,
所以,点P的坐标为(﹣2,4),
②当点P在x轴下方时,﹣x2﹣4x=﹣4,
解得x1=﹣2+2 ,x2=﹣2﹣2 ,
所以,点P的坐标为(﹣2+2 ,﹣4)或(﹣2﹣2 ,﹣4),
综上所述,点P的坐标是:(﹣2,4)、(﹣2+2 ,﹣4)、(﹣2﹣2 ,﹣4).
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上的点的坐标特征,(2)要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解.
24.某校初三年级的一场篮球比赛中,如图队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高 m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3m.
(1)建立如图的平面直角坐标系,问此球能否准确投中;
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1m,那么他能否获得成功?
考点:二次函数的应用.
分析:已知最高点坐标(4,4),用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式,运用求出的解析式就可以解决题目的问题了.
解答: 解:(1)根据题意,球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为:
A(0, )B(4,4)C(7,3)
设二次函数解析式为y=a(x﹣h)2+k
代入A、B点坐标,得
y=﹣ (x﹣4)2+4 ①
将C点坐标代入①式得左边=右边
即C点在抛物线上
∴一定能投中;
(2)将x=1代入①得y=3
∵3.1>3
∴盖帽能获得成功.
点评:本题考查了二次函数解析式的求法,及其实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
25.如图,有一个长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a为15米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成花圃的面积为36平方米,求AB的长为多少米?
(3)如果要使围成花圃面积最大,求AB的长为多少米?
考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.
专题:几何图形问题.
分析:(1)可先用篱笆的长表示出BC的长,然后根据矩形的面积=长×宽,得出S与x的函数关系式;
(2)根据(1)的函数关系式,将S=36代入其中,求出x的值即可;
(3)根据二次函数的性质求出自变量取值范围内的最值.
解答: 解:(1)花圃的宽AB为x米,则BC=(24﹣3x)米,
∴S=x(24﹣3x),
即S=﹣3x 2+24x(3≤x<8);
(2)当S=36时,﹣3x2+24x=36,
解得x1=2,x2=6,
当x=2时,24﹣3x=18>15,不合题意,舍去;
当x=6时,24﹣3x=6<15,符合题意,
故AB的长为6米.
(3)S=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48,
∵3≤x<8,
∴当x=4米时面积最大,最大面积为48平方米.
点评:本题考查了二次函数的综合应用,根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.要注意题中自变量的取值范围.
26.(14分)某公司为一工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为 对吗?请说明理由.
考点:二次函数的应用.
专题:压轴题.
分析:本题属于市场营销问题,月利润=(每吨售价﹣每吨其它费用)×销售量,销售量与每吨售价的关系要表达清楚.再用二次函数的性质解决最大利润问题.
解答: 解:(1)由题意得:
45+ ×7.5=60(吨).
(2)由题意:
y=(x﹣100)(45+ ×7.5),
化简得:y=﹣ x2+315x﹣24000.
(3)y=﹣ x2+315x﹣24000=﹣ (x﹣210)2+9075.
利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.
(4)我认为,小静说的不对.
理由:方法一:当月利润最大时,x为210元,
而对于月销售额W=x(45+ ×7.5)=﹣ (x﹣160)2+19200来说,
当x为160元时,月销售额W最大.
∴当x为210元时,月销售额W不是最大.
∴小静说的不对.
方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元;
而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000,
∴当月利润最大时,月销售额W不是最大.
∴小静说的不对.
(说明:如果举出其它反例,说理正确,也可以)
点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再对二次函数进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
27.(14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐 标;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
考点:二次函数综合题.
专题:压轴题;动点型.
分析:(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论:
①当CP=PM时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作PQ⊥y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长,可根据M的坐标得出,CQ=3﹣x,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.
②当CM=MP时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).
③当CM=CP时,因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;
(3)由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积.直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长.在三角形BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.
解答: 解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),
∴
解得:
∴所求抛物线解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵抛物线解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3,
∴其对称轴为x= =﹣1,
∴设P点坐标为(﹣1,a),当x=0时,y=3,
∴C(0,3),M(﹣1,0)
∴当CP=PM时,(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得a= ,
∴P点坐标为:P1(﹣1, );
∴当CM=PM时,(﹣1)2+32=a2,解得a=± ,
∴P点坐标为:P2(﹣1, )或P3(﹣1,﹣ );
∴当CM=CP时,由勾股定理得:(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,
∴P点坐标为:P4(﹣1,6)
综上所述存在符合条件的点P,其坐标为P(﹣1, )或P(﹣1,﹣ )
或P(﹣1,6)或P(﹣1, );
(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3< a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a
∴S四边形BOCE= BF?EF+ (OC+EF)?OF
= (a+3)?(﹣a2﹣2a+3)+ (﹣a2﹣2a+6)?(﹣a)
=
=﹣ +
∴当a=﹣ 时,S四边形BOCE最大,且最大值为 .
此时,点E坐标为(﹣ , ).
点评:本题主要考查了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进行求解,不要漏解.