北师大版2015初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)
第一章 直角三角形的边角关系检测题
【本检测题满分:120分，时间:120分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.计算：
A. B. C. D.
2.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B （ ）
A． B． C． D．
3.点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC,点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD,则tan∠DBC的值为（ ）
A. B. -1 C.2- D.
5.在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A.2 B. C. D.
6.已知在 中， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，一个小球由地面沿着坡度 的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为( )
A.5 m B.2 m C.4 m D. m
8.如图，在菱形 中， ， ， ，则tan∠ 的值是（ ）
A． B．2 C． D．
9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）
A. 5 B. C. 7 D.
10.某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A.1 200 m B.1 200 m C. 1 200 m D.2 400 m
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米．
12.有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）
13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进
50 m至 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计， ）
14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．
15.如图，已知Rt△ 中，斜边 上的高 ， ，则 ________.
16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _ ．
17. ①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD＝15 cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).
① ②
18.如图，在四边形 中， ， ， ， ，则 __________.
三、解答题（共66分）
19.（8分）计算下列各题：
(1) ；（2） .
20.（7分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点 看大树顶端C的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；
(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .
请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1 m)
21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过 ，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?
（参考数据： )
22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（取 ≈1.732，结果精确到1 m）
23.（8分）已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为
45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处（即∠ ， 米），测得A的仰角为 ，求山的高度AB．
24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
25.（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
（1）求sin B的值；
（2）如果CD＝ ，求BE的值.
26.（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
北师大版2015初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)参考答案
一、选择题
1.C 解析：
2.C 解析：设 ，则 ， ，则 ，
所以△ 是直角三角形，且∠ ．
所以在Rt△ABC中， ．
3.Ｃ 解析：在Rt△BCD中， ，故A项正确；
在Rt△ABC中， ，故B项正确；
， ， ，
，故D项正确；而 ，故C项错误.
4.A 解析：根据题意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,设DE=CE=x，则CD= x，AC=AB=2 x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根据锐角三角函数，在Rt△DBE中，tan∠DBE= = = ，即tan∠DBC= .
5.D 解析：如图所示，连接AC，则AC ， 2；AB 2 ， 8； BC ， 10.
∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，
∴ tan∠ABC .
6.A 解析：如图，设 则
由勾股定理知， 所以tan B .
7.B 解析：设小球距离地面的高度为 则小球水平移动的距离为 所以 解得
8.B 解析：设 又因为在菱形 中， 所以 所以 所以 由勾股定理知 所以 2
9.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为 则 所以斜边长
10. D 解析：根据题意，得∠B= =30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AB=2AC.
∵ AC=1 200 m，∴ AB=2 400 m.故选D.
二、填空题
11.10 解析：如图，过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10（米）.
12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 ,
然后使用计算器求出 的度数约为27.8°.
13.43.3 解析：因为 ，所以 所以 所以 ).
14.15°或75° 解析：如图， .
在图①中， ，所以∠ ∠ ；
在图②中， ，所以∠ ∠ .
15. 解析：在Rt△ 中，∵ ，∴ sin B= ， ．
在Rt△ 中，∵ ，sin B= ，∴ ．
在Rt△ 中，∵ ， ∴ ．
16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从 点向 所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .
17. 14.1 解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE= ∠CBD=20°.
在Rt△BCE中，cos∠CBE= ，∴ BE=BC?cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）
18. 解析：如图，延长 、 交于 点，
∵ ∠ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
三、解答题
19.解：（1）
（2）
20.解：∵ ∠ 90°, ∠ 45°，∴
∵ ，∴
则 m，
∵ ∠ 35°，
∴ tan∠ tan 35° .
整理，得 ≈10.5.
故大树 的高约为10.5
21.解：因为 所以斜坡的坡角小于 ，
故此商场能把台阶换成斜坡.
22.解：设 ，则由题意可知 ， m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝ ，即tan 30°＝ ，
∴ ，即3x (x＋100)，解得x 50＋50 .
经检验， 50＋50 是原方程的解．
∴
故该建筑物的高度约为
23.解:如图，过点D分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
在Rt△ 中， ∠ ， 米，
所以 （米），
（米）.
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设 米，
则 （米）.
在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，
在Rt△ACB中， ∠ ，∴ ，
即 ，
∴ ， ∴ 米．
24.解：由原题左图可知：BE⊥DC， m， .
在Rt△BEC中， （m）.
由勾股定理得， m.
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形 的面积＝梯形 的面积．
，
解得 ＝80（m）.
∴ 改造后坡面的坡度 .
25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.
（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.
解：（1）∵ CD是斜边AB上的中线，
∴ CD=BD,∴ ∠B＝∠DCB.
∵ ∠ACB＝90°，AE⊥CD，
∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE.
∵ AH＝2CH，
∴ sin B=sin∠CAE= = ＝ .
（2）∵ CD= ，∴ AB=2 .
∴ BC=2 ?cos B=4，AC=2 ?sin B=2,
∴ CE=AC?tan∠CAE=1,
∴ BE=BC-CE=3.
点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.
26.分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.
(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a（海里）.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，
∴ AC= = =2a（海里），
CE=AE?tan 60°= a（海里）.
在Rt△BCE中，BE=CE，
∴ 100( +1)-a= a，∴ a=100（海里）.
∴ AC=2a=200（海里）.
在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC，
∴ △ACD∽△ABC，∴ = ,即 = .
∴ AD=200( -1)(海里).
答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.
（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F.
在Rt△ADF中，∠DAF=60°，
∴ DF=AD?sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈127100.
∴ 船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.
点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.
北师大版2015初三年级下册数学期中测试题(含答案解析)参考答案及评分标准
一、选择题
1.C 解析：
2.C 解析：设 ，则 ， ，则 ，
所以△ 是直角三角形，且∠ ．
所以在Rt△ABC中， ．
3.Ｃ 解析：在Rt△BCD中， ，故A项正确；
在Rt△ABC中， ，故B项正确；
， ， ，
，故D项正确；而 ，故C项错误.
4.A 解析：根据题意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,设DE=CE=x，则CD= x，AC=AB=2 x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根据锐角三角函数，在Rt△DBE中，tan∠DBE= = = ，即tan∠DBC= .
5.D 解析：如图所示，连接AC，则AC ， 2；AB 2 ， 8； BC ， 10.
∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，
∴ tan∠ABC .
6.A 解析：如图，设 则
由勾股定理知， 所以tan B .
7.B 解析：设小球距离地面的高度为 则小球水平移动的距离为 所以 解得
8.B 解析：设 又因为在菱形 中， 所以 所以 所以 由勾股定理知 所以 2
9.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为 则 所以斜边长
10. D 解析：根据题意，得∠B= =30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ AB=2AC.
∵ AC=1 200 m，∴ AB=2 400 m.故选D.
二、填空题
11.10 解析：如图，过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10（米）.
12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 ,
然后使用计算器求出 的度数约为27.8°.
13.43.3 解析：因为 ，所以 所以 所以 ).
14.15°或75° 解析：如图， .
在图①中， ，所以∠ ∠ ；
在图②中， ，所以∠ ∠ .
15. 解析：在Rt△ 中，∵ ，∴ sin B= ， ．
在Rt△ 中，∵ ，sin B= ，∴ ．
在Rt△ 中，∵ ， ∴ ．
16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从 点向 所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .
17. 14.1 解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE= ∠CBD=20°.
在Rt△BCE中，cos∠CBE= ，∴ BE=BC?cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）.
18. 解析：如图，延长 、 交于 点，
∵ ∠ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
三、解答题
19.解：（1）
（2）
20.解：∵ ∠ 90°, ∠ 45°，∴
∵ ，∴
则 m，
∵ ∠ 35°，
∴ tan∠ tan 35° .
整理，得 ≈10.5.
故大树 的高约为10.5
21.解：因为 所以斜坡的坡角小于 ，
故此商场能把台阶换成斜坡.
22.解：设 ，则由题意可知 ， m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝ ，即tan 30°＝ ，
∴ ，即3x (x＋100)，解得x 50＋50 .
经检验， 50＋50 是原方程的解．
∴
故该建筑物的高度约为
23.解:如图，过点D分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
在Rt△ 中， ∠ ， 米，
所以 （米），
（米）.
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设 米，
则 （米）.
在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，
在Rt△ACB中， ∠ ，∴ ，
即 ，
∴ ， ∴ 米．
24.解：由原题左图可知：BE⊥DC， m， .
在Rt△BEC中， （m）.
由勾股定理得， m.
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形 的面积＝梯形 的面积．
，
解得 ＝80（m）.
∴ 改造后坡面的坡度 .
25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.
（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.
解：（1）∵ CD是斜边AB上的中线，
∴ CD=BD,∴ ∠B＝∠DCB.
∵ ∠ACB＝90°，AE⊥CD，
∴ ∠DCB=∠CAE,∴ ∠B=∠DCB=∠CAE.
∵ AH＝2CH，
∴ sin B=sin∠CAE= = ＝ .
（2）∵ CD= ，∴ AB=2 .
∴ BC=2 ?cos B=4，AC=2 ?sin B=2,
∴ CE=AC?tan∠CAE=1,
∴ BE=BC-CE=3.
点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.
26.分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.
(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a（海里）.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，
∴ AC= = =2a（海里），
CE=AE?tan 60°= a（海里）.
在Rt△BCE中，BE=CE，
∴ 100( +1)-a= a，∴ a=100（海里）.
∴ AC=2a=200（海里）.
在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC，
∴ △ACD∽△ABC，∴ = ,即 = .
∴ AD=200( -1)(海里).
答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.
（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F.
在Rt△ADF中，∠DAF=60°，
∴ DF=AD?sin 60°=200( -1)× =100(3- )≈127100.
∴ 船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.
点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.