2015九年级数学下册期中圆的基本元素测试题(含答案解析)
一．选择题（共8小题）
1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小 圆自身滚动的圈数是（）
A．4 B．5 C．6 D．10
2．下列说法中，结论错误的是（）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）
A．15 B．15+5 C．20 D．15+5
5．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定
6．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作 ，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（）
A． B． C． D．
7．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）
A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦
C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形
8．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D．（﹣1，0）
二．填空题（共6小题）
9．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= _________ ．
10．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 _________ ．
11．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC= _________ 度．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD = _________ ．
13.如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为 的圆得到图②，挖去22个半径为（ ）2的圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 _________ ．
14．如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB= _________ ．
三．解答题（共7小题）
15．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：△OAC≌△OBD．
16．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，且AB=OC，求∠A的度数．
17．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．
18．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD．
19．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．
20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．
21．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
2015九年级数学下册期中圆的基本元素测试题(含答案解析)参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）
A． 4 B．5 C．6 D． 10
考点： 圆的认识；多边形内角与外角．
专题： 压轴题．
分析： 因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，另外五边形的外角和为360°，所有小圆在五个角处共滚动一周，可以求出小圆滚动的圈数．
解答： 解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所有小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
点评： 本题考查的是对圆的认识，根据圆的周长与五边形的边长相等，可以知道圆在每边上滚动一周．然后由多边形外角和是360° ，可 以知道圆在五个角处滚动一周．因此可以求出滚动的总圈数．
2．下列说法中，结论错误的是（）
A． 直径相等的两个圆是等圆
B． 长度相等的两条弧是等弧
C． 圆中最长的弦是直径
D． 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
考点： 圆的认识．
分析： 利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；
解答： 解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选B．
点评： 本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故选D．
点评： 此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
4．如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）
A． 15 B．15+5 C．20 D． 15+5
考点： 圆的认识；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 连结ADBP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD= BD，由于△ABC为等边三角形，所以AC=BC=AB=5，BD=BP=5，当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=15+5 ．
解答： 解：连结AD，BP，PA，
∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴AD= AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=5，
∴BD=BP=5，
当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC+BC+BD+AD=5+5+5+5 =15+5 ．
故选B．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
5．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）
A． C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D． 不能确定
考点： 圆的认识；等边三角形的性质．
分析： 首先设出圆的直径，然后表示出半圆的弧长和三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．
解答： 解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为： aπ，
4个正三角形的周长和C2为：3a，
∵ aπ＜3a，
∴C1＜C2
故选B．
点评： 本题考查了圆的认识及等边三角形的性质，解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2．
6．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作 ，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（）
A． B． C． D．
考点： 圆的认识．
专题： 压轴题．
分析： 首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
解答： 解：∵AB=4，AC=2，
∴S1+S3=2π，S2+S4= ，
∵S1﹣S2= ，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）= π
∴S3﹣S4= π，
故选：D．
点评： 本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．
7．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）
A． 同弧所对的圆周角相等 B． 直径是圆中最大的弦
C． 圆上各点到圆心的距离相等 D． 圆是中心对称图形
考点： 圆的认识．
分析： 根据车轮的特点和功能进行解答．
解答： 解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，
是利用了圆上各点到圆心的距离相等，
故选C．
点评： 本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也．
8．如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，则点B的坐标是（）
A． （0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D． （﹣1，0）
考点： 圆的认识；坐标与图形性质．
分析： 先根据同圆的半径相等得出OB=OA=1，再由点B在y轴的负半轴上即可求出点B的坐标．
解答： 解：∵以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA=1，
∴点B的坐标是（0，﹣1）．
故选B．
点评： 本题考查了对圆的认识及y轴上点的坐标特征，比较简单．
二．填空题（共6小题）
9．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50° ．
考点： 圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
解答： 解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=∠AEB=90°，
∵∠A=65°，
∴∠ABE=25°，
∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
点评： 本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
10．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 60° ．
考点： 圆的认识；等腰三角形的性质．
分析： 利用等边对等角即可证得∠C=∠DOC=20°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
解答： 解：∵CD=OD=OE，
∴∠C=∠DOC=20°，
∴∠EDO=∠E=40°，
∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．
故答案为：60°．
点评： 本题主要考查了三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，正确理解圆的半径都相等是解题的关键．
11．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC= 65 度．
考点： 圆的认识；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
解答： 解：∵OD=OC，
∴∠D=∠A ，
而∠AOD=50°，
∴∠A= （180°﹣50°）=65°，
又∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠A=65°．
故答案为：65．
点评： 本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= 40° ．
考点： 圆的认识；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．
解答： 解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=70°，
∵AD∥OC，OD=OA，
∴∠D=∠A=70°，
∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°．
故答案为：40．
点评： 本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用．
13.如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为 的圆得到图②，挖去22个半径为（ ）2的 圆得到图③…，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积是 （1﹣ ）π ．
考点： 圆的认识．
专题： 规律型．
分析： 先分别求出图②与图③中阴影部分的面积，再从中发现规律，然后根据规律即可得出第n（n＞1）个图形阴影部分的面积．
解答： 解：图②中阴影部分的面积为：π×12﹣π×（ ）2×2=π﹣ π=（1﹣ ）π= π；
图③中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（ ）2]2×22=π﹣ π=（1﹣ ）π= π；
图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（ ）3的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（ ）3]2×23=π﹣ π=（1﹣ ）π= π；
…，
则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12﹣π×[（ ）n﹣1]2×2n﹣1=π﹣ π=（1﹣ ）π．
故答案为：（1﹣ ）π．
点评： 本题考查了对圆的认识及圆的面积公式，从具体的图形中找到规律是解题的关键．
14如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB= 5 ．
考点： 圆的认识；等边三角形的判定与性质．
分析： 由OA=OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
解答： 解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
故AB=5．
故答案为：5．
点评： 同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件．
三．解答题（共7小题）
15．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：△OAC≌△OBD．
考点： 圆的认识；全等三角形的判定．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等．
解答： 证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
点评： 本题考查了三角形全等的判定与性质，正确理解三角形的判定定理是关键．
16．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD=48°，A为DC延长线上一点，且AB=OC，求∠A的度数．
考点： 圆的认识；等腰三角形的性质．
分析： 根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB，∠B与∠E的关系，根据三角形的外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．
解答： 解：如图，连接OB，
由AB=OC，得AB=OC，∠AOB=∠A．
由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A．
由OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A．
由∠A+∠E=∠EOD，即∠A+2∠A=48°．
解得∠A=16°．
点评： 本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性 质，三角形外角的性质．
17．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．
考点： 圆的认识；等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 连接OD，如图，由 AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE=∠E=20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO=40°，加上∠C=∠ODC=40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．
解答： 解：连接OD，如图，
∵AB=2DE，
而AB=2OD，
∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E=20°，
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，
而OC=OD，
∴∠C=∠ODC=40°，
∴∠AOC=∠C+∠E=60°．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
18．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D，求证：AB∥CD．
考点： 圆的认识；平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 利用半径相等得到OC=OD，则利用等腰三角形的性质得∠OCD=∠ODC，再根据三角形内角和定理得到∠OCD= （180°﹣∠O），同理可得∠OAB= （180°﹣∠O），
则∠OCD=∠OAB，然后根据平行线的判定即可得到结论．
解答： 证明：∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCD= （180°﹣∠O），
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB= （180°﹣∠O），
∴∠OCD=∠OAB，
∴AB∥CD．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
19．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．
考点： 圆的 认识；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到∠A=∠B，再利用“SAS”证明△OAC≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．
解答： 证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC=∠DOB．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了全等三角形的判定与性质．
20．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．
考点： 圆的认识；等腰三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 如图，由CE=AO，OA=OC得到OC=EC，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠1，再利用三角形外角性质得∠2=∠E+∠1=2∠E，加上∠D=∠2=2∠E，所以∠BOD=∠E+∠D，即∠E+2∠E=75°，然后解方程即可．
解答： 解：如图，
∵CE=AO，
而OA=OC，
∴OC=EC，
∴∠E=∠1，
∴∠2=∠E+∠1=2∠E，
∵OC=OD，
∴∠D=∠2=2∠E，
∵∠BOD=∠E+∠D，
∴∠E+2∠E=75°，
∴∠ E=25°．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰 三角形的性质．
21．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
考点： 圆的认识．
专题： 证明题．
分析： 根据圆的周长公式可计算出半圆AB的长= πAB，半圆BC的长= πBC，半圆AC的长= πAC，则半圆AB的长+半圆BC的长= π?（AB+BC）= π?AC，即半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
解答： 证明：∵半圆AB的长= ?2π? = πAB，半圆BC的长= ?2π? = πBC，半圆AC的长= ?2π? = πAC，
∴半圆AB的长+半圆BC的长= πAB+ πBC= π?（AB+BC），
∵AB+BC=AC，
∴半圆AB的长+ 半圆BC的长= π?AC，
∴半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
点评： 本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．