2015初三数学下册期中二次函数的图像试题(含答案解析)
一.选择题 (共8小题)
1.已知二次函数y=ax2﹣2x+2(a>0),那么它的图象一定不经过()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.抛物线y=2x2,y=﹣2x2,y= x2共有的性质是()
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有 最低点 D.y的值随x的增大而减小
3.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是()
A.(2,1) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2)
4.对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是()
A.开口向下 B.对称轴是x=﹣1 C.顶点坐标是(1,2) D.与x轴有两个交点
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()
A.函数有最小值 B.对称轴是直线x= C.当x< ,y随x的增大而减小 D.当﹣1<x<2时,y>0
6.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点,则方程 x2+bx+c=1的解的个数是()
A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0,1或2
7.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()
A.6 B.5 C.4 D.3
8.抛物线y=(x﹣1)2﹣3的对称轴是()
A.y轴 B.直线x=﹣1 C.直线x=1 D.直线x=﹣3
二.填空题(共6小题)
9.如果抛物线y= x2+(m﹣1 )x﹣m+2的对称轴是y轴,那么m的值是 _________ .
10.抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 _________ (填“上升”或“下降”).
11.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)、B(4,5),那么此抛物线的对称轴是 _________ .
12.二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线 _________ .
13.如果抛物线y=(a+3)x2﹣5不经过第一象限,那么a的取值范围是 _________ .
14.若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2,则m= _________ .
三.解答题(共6小题)
15.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.
16.如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
17.已知抛物线y=x2﹣x﹣1.
(1)求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴;
(2)抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为(m,0),求代数式m2+ 的值.
18.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣6,与x轴交于点A和B,点A在点B的左边,与y轴的交点为C.
(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标;
(2)求sin∠OCB的值;
(3)若点P(m,m)在该抛物线上,求m的值.
19.若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1,其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2,其顶点为B,且满 足点A在C2上,点B在C1上,则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”.
(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有 _________ 个;
(2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点;
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”.
(3)试探究a1与a2满足的数量关系.
20.已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线.
(1)请求出该函数图象的对称轴;
(2)在坐标系内作出该函数的图象;
(3)有一条直线过点P(1,5),若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点,请求出 所有满足条件的直线的关系式.
2015初三数学下册期中二次函数的图像试题(含答案解析)参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.知二次函数y=ax2﹣2x+2(a>0),那么它的图象一定不经过()
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
考点: 二次函数的性质.
分析: 先根据题意判断出二次函数的对称轴方程,再令x=0求出y的值,进而可得出结论.
解答: 解:∵二次函数y=ax2﹣2x+2(a>0)的对称轴为直线x=﹣ =﹣ = >0,
∴其顶点坐标在第一或四象限,
∵当x=0时,y=2,
∴抛物线一定经过第二象限,
∴此函数的图象一定不经过第三象限.
故选C.
点评: 本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键.
2抛物线y=2x2,y=﹣2x2,y= x2共有的性质是()
A. 开口向下 B . 对称轴是y轴 C. 都有最低点 D. y的值随x的增大而减小
考点: 二次函数的性质.
分析: 结合抛物线的解析式和二次函数的性质,逐项判断即可.
解答: 解:
∵y=2x2,y= x2开口向上,
∴A不正确,
∵y=﹣2x2,开口向下,
∴有最高点,
∴C不正确,
∵在对称轴两侧的增减性不同,
∴D不正确,
∵三个抛物线中都不含有一次项,
∴其对称轴为y轴,
∴B正确,
故选B.
点评: 本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键.
3.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是()
A. (2,1) B.(0,1) C.(1,0) D. (1,2)
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标.
解答: 解:
∵y=2x2+1=2(x﹣0)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(0,1),
故选B.
点评: 本题主要考 查抛物线的顶点坐标,掌握顶点式方程y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解题的关键.
4.对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是()
A. 开口向下 B.对称轴是x=﹣1 C.顶点坐标是(1,2) D. 与x轴有两个交点
考点: 二次函数的性质.
专题 : 常规题型.
分析: 根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.
解答: 解:二次函数y=(x﹣1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.
故选:C.
点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点式为y=a(x﹣ )2+ ,的顶点坐标是(﹣ , ),对称轴直线x=﹣b2a,当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,当a<0时,抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)的开口向下.
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()
A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x< ,y随x的增大而减小 D. 当﹣1<x<2时,y>0
考点: 二次函数的性质.
专题: 压轴题;数形结合.
分析: 根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;
根据图形直接判断B;
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;
根据图象,当﹣1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.
解答: 解:A、由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意;
B、由图象可知,对称轴为x= ,正确,故B选项不符合题意;
C、因为a>0,所以,当x< 时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;
D、由图象可知,当﹣1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.
故选:D.
点评: 本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题.
6.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点,则方程 x2+bx+c=1的解的个数是()
A. 0或2 B.0或1 C.1或2 D. 0,1或2
考点: 二次函数的性质.
专题: 数形结合;分类讨论;方程思想.
分析: 分三种情况:点M的纵坐标小于1;点M的纵坐标等于1;点M的纵坐标大于1;进行讨论即可得到方程 x2+bx+c=1的解的个数.
解答: 解:分三种情况:
点M的纵坐标小于1,方程 x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根;
点M的纵坐标等于1,方程 x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根;
点M的纵坐标大于1,方程 x2+bx+c=1的解的个数是0.
故方程 x2+bx+c=1的解的个数是0,1或2.
故选:D.
点评: 考查了二次函数的性质,本题涉及分类思想和方程思想的应用.
7.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,3),则h的值可以是()
A. 6 B.5 C.4 D. 3
考点: 二次函数的性质.
专题: 计算题.
分析: 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于所给数据都是正数,所以当对称轴在y轴的右侧时,比较点A和点B到对称轴的距离可得到h<4.
解答: 解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,
∴当对称轴在y轴的 右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比B(8,3)到对称轴的距离小,
∴x=h<4.
故选:D.
点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣ , ),对称轴直线x=﹣ ,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+b x+c (a≠0)的开口向上,x<﹣ 时,y随x的增大而减小;x>﹣ 时,y随x的增大而增大;x=﹣ 时,y取得最小值 ,即顶点是抛物线的最低点.② 当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣ 时,y随x的增大而增大;x>﹣ 时,y随x的增大而减小;x=﹣ 时,y取得最大值 ,即顶点是抛物线的最高点.
8.抛物线y=(x﹣1)2﹣3的对称轴是()
A. y轴 B.直线x=﹣1 C.直线x=1 D. 直线x=﹣3
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的顶点式y=(x﹣h)2+k,对称轴为直线x=h,得出即可.
解答: 解:抛物线y=(x﹣1)2﹣3的对称轴是直线x=1.
故选:C.
点评: 本题考查了二次函数的性质,解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线,这是此题易忽略的地方.
二.填空题(共6小题)
9.如果抛物线y= x2+(m﹣1)x﹣m+2的对称轴是y轴,那么m的值是 1 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 由对称轴是y轴可知一次项系数为0,可求得m的值.
解答: 解:∵y= x2+(m﹣1)x﹣m+2的对称轴是y轴,
∴m﹣1=0,解得m=1,
故答案为:1.
点评: 本题主要考查抛物线的对称轴,掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键.
10.抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 上升 (填“上升”或“下降”).
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据抛物线解析式可求得其对称轴,结合抛物线的增减性可得到答案.
解答: 解:
∵y=2x2﹣1,
∴其对称轴为y轴,且开口向上,
∴在y轴右侧,y随x增大而增大,
∴其图象在y轴右侧部分是上升,
故答案为:上升.
点评: 本题主要考查二次函数的增减性,掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键.
11.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)、B(4,5),那么此抛物线的对称轴是 直线x=2 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称,然后列式计算即可得解.
解答: 解:∵点A(0,5)、B(4,5)的纵坐标都是5相同,
∴抛物线的对称轴为直线x= =2.
故答案为:直线x=2.
点评: 本题考查了二次函数的性质,观察出A、B是对称点是解题的关键.
12.二次函数y=x2﹣4x﹣5 的图象的对称轴是直线 x=2 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解.
解答: 解:对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2,
即直线x=2.
故答案为:x=2.
点评: 本题考查了二次函数的性 质,主要利用了对称轴公式,需熟记.
13.如果抛物线y=(a+3)x2﹣5不 经过第一象限,那么a的取值范围是 a<﹣3 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据抛物线y=(a+3)x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向,从而确定a的取值范围.
解答: 解:∵抛物线y=(a+3)x2﹣5不经过第一象限,
∴a+3<0,
解得:a<﹣3,
故答案为:a<﹣3.
点评: 考查了二次函数的性质,根据抛物线的开口方向,与y轴的交点,对称轴判断抛物线经过的象限.
14. 若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2,则m= 8 .
考点: 二次函数的性质.
分析: 根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可.
解答: 解:由题意得,﹣ =2,
解得m=8.
故答案为:8.
点评: 本题考查了二次函数的性质,熟记对称轴的求法是解题的关键.
三.解答题(共6小题)
15.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.
考点: 二次函数的图象.
分析: 首先利用描点法作出y=2x2的图象,然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可;
解答: 解:列表得:
﹣2 ﹣1 0 1 2
y=2x2 8 2 0 2 8
y=2x2+1 9 3 1 3 9
点评: 本题考查了二次函数的图象,解题的关键是正确的列表、描点.
16.如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
考点: 二次函数的性质;坐标与图形变化-旋转.
分析: (1)由于抛物线过点O(0,0),A(2,0),根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)作A′B⊥x轴与B,先根据旋转的性质得OA′=OA=2,∠A′OA=60°,再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB= OA′=1,A′B= OB= ,则A′点的坐标为(1, ),根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
解答: 解:(1)∵二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
解得:h=1,a=﹣ ,
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)点A′是该函数图象的顶点.理由如下:
如图,作A′B⊥x轴于点B,
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,
∴OA′=OA=2,∠A′OA=60°,
在Rt△A′OB中,∠OA′B=30°,
∴OB= OA′=1,
∴A′B= OB= ,
∴A′点的坐标为(1, ),
∴点A′为抛物线y=﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣ , ),对称轴直线x=﹣ ,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣ 时,y随x的增大而减小;x>﹣ 时,y随x的增大而增大;x=﹣ 时,y取得最小值 ,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣ 时,y随x的增大而增大;x>﹣ 时,y随x的增大而减小;x=﹣ 时,y取得最大值 ,即顶点是抛物线的最高点.也考查了旋转的性质.
17.已知抛物线y=x2﹣x﹣1.
(1)求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴;
(2)抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为(m,0),求代数式m2+ 的值.
考点: 二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.
分析: (1)根据配方法,可得顶点式解析式,根据顶点式解析式,可得答案;
(2)根据函数值为0,可得一元二次方程,根据解一元二次方程,可得m的值,根据m的值,可得代数式的值.
解答: 解:A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+ ﹣1﹣ =(x﹣ )2﹣ ,
顶点坐标是( ,﹣ ),对称轴是x= ;
(2)当y=0时x2﹣x﹣1=0,
解得x= ,x= ,
当m= 时,m2+ =( )2+
= = =3,
当m= 时,m2+ =( )2
=
= =3,
m2+ =3.
点评: 本题考查了二次函数的性质,配方法的顶点式解析式,函数值为0时得一元二次方程,注意把符合条件的分别代入求值.
18.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣6,与x轴交于点A和B,点A在点B的左边,与y轴的交点为C.
(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标;
(2)求sin∠OCB的值;
(3)若点P(m,m)在该抛物线上, 求m的值.
考点: 二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征;勾股定理.
分析: (1)根据配方法,可得顶点式解析式,根据顶点式解析式,可得抛物线的顶点;
(2)根据函数值为0,可得B点坐标,根据自变量为0,可得C点坐标,根据勾股定理,可得BC的长,根据正弦的意义,可得答案;
(3)根据图象上的点的坐标满足函数解析式,可得一元二次方程,根据解一元二次方程,可得答案.
解答: 解:(1)∵ ,
∴抛物线的顶点坐 标为( , );
(2)令 x2﹣x﹣6=0,解得x1=﹣2,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0),又点C的坐标为(0,﹣6),
∴ ,
∴ ;
(3)∵ 点P(m,m)在这个二次函数的图象上,
∴m2﹣m﹣6=m,
即m2﹣2m﹣6=0,
解得 , .
点评: 本题考查了二次函数的性质,配方法可把一般式转化成顶点式,图象上点的坐标满足函数解析式.
19.若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1,其顶点为A,二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2,其顶点为B,且满足点A在C2上,点B在C1上,则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”.
(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有 无数 个;
(2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点;
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”.
(3)试探究a1与a2满足的数量关系.
考点: 二次函数的性质.
专题: 新定义.
分析: (1)根据伴侣二次函数的定义,可得答案;
(2)①根据函数值为0,可得函数与x轴的交点的横坐标就是,可得答案;②根据伴侣二次函数的定义,顶点坐标,可得伴侣二次函数;
(3)根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上,二元一次方程组,根据解方程组,可得答案.
解答: 解:(1)无数;
(2)①令y=0,即x2+3x+2=0.
解得:x1=﹣1,x2=﹣2.
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为(﹣2,0),(﹣1,0). (3分)
②∵y=x2+3x+2=(x+ )2﹣ ∴顶点坐标为(﹣ ,﹣ ).
设以(﹣2,0)为顶点且经过(﹣ ,﹣ )的抛物线的函数关系式为
y=a(x+2)2,
将x=﹣ ,y=﹣ 代入y=a(x+2)2得 a=﹣1.
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=﹣(x+2)2=﹣x2﹣4x﹣4,
同理可求以(﹣1,0)为顶点且经过(﹣ ,﹣ )的抛物线的函数关系式.
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=﹣(x+1)2=﹣x2﹣2x﹣1;
(3)设y=a1(x+m)2+n,其顶点为(﹣m,n);
y=a2(x+h)2+k,其顶点为(﹣h,k).
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1(﹣h+m)2=﹣a2(﹣m+h)2.
当﹣h≠m时,a1=﹣a2
当﹣h=m时,a1、a2为任意不为零的实数.
点评: 本题考查了二次函数的性质,伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键.
20.已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线.
(1)请求出该函数图象的对称轴;
(2)在坐标系内作出该函数的图象;
(3)有一条直线过点P(1,5),若该直线与二次函数y=﹣x2+2x +3只有一个交点,请求出所有满足条件的直线的关系式.
考点: 二次函数的性质;二次函 数的图象.
分析: (1)根据对称轴的公式,可得答案;
(2)根据画函数图象的方法,可得抛物线的图象;
(3)根据直线与抛物线相切,可得交点是一个,可得答案.
解答: 解:(1) ;
(2)图象
(3)因为抛物线的对称轴是x=1,点p(1,5)
当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点
所以直线x=1为所求直线
当过点p的直线不与y轴平行时,设直线的解析式为y=kx+b,
令﹣x2+2x+3=kx+ b
整理得﹣x2+(2﹣k)x+3﹣b=0由题意得△=(2﹣k)2+4(3﹣b)=0
即:k2﹣4k+16﹣4b=0
又因为y=kx+b,过点p(1,5)
所以5=k+b
所以k2﹣4=0
解得k=±2,
当k=2时,b=3;
当k=﹣2时,b=7
所以解析式为y1=2x+3,y2=﹣2x+7,
所以满足条件的直线有三条:直线x=1;y1=2x+3,y2=﹣2x+7.
点评: 本题考查了二次函数的性质,a<0时,图象开口向下,对称轴是x=﹣ .