江西省2015初三数学下学期期中重点冲刺卷(含答案解析)
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项.
1．如果a与－2互为相反数，那么a是（ ）．
A．2 B．－2 C． D．－
2．某网站数据显示，2015年第一季度我国彩电销量为1233万台，将1233万用科学计数法可表示为( ) ．
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A． B． C． D．
4．一手机店某星期销售苹果手机每天的数量如下：
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
数量（部） 5 10 7 8 10 15
这组数据的众数、中位数依次是（ ）．
A．8，8 B．8，9 C．10，9 D．10，10
5．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（-3，0），（5，0），则对于另一顶点，下列说法错误的是（ ）．
A．横坐标可确定 B．纵坐标无法确定
C．位置在第二象限 D．到 轴的距离为1
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 与气体体积 之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．小于 B．大于
C．小于 D．大于
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．当分式 没有意义时，x的值是 ．
8．分解因式：2x2﹣8= ．
9．化简 的结果是 ．
10．如图，一张三角形纸片ABC,∠B=45o，现将纸片的一角向内折叠，折痕ED∥BC，则∠AEB的度数为 ．
11．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形共有 个★．
12．如图，等边△ABC的两个顶点A，C均在坐标上，BC与 轴平行，BC=2，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在 轴的正半轴上，则旋转后点B所在位置的坐标为 ．
13．如图，菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于 ．则EF的长为 ．
14．若方程组 中的未知数 的值为正整数，且 ＜18，则 的值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．先化简,再求值: ,其中 .
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2）， 轴于A．
(1)求 的值；
(2)将 平移得到 ，点A的对应点是 ，点 的对应点 的坐标为 ，在坐标系中作出 ，并写出点 、 的坐标．
17．下列图中，点P、A、B均在⊙O上，∠P=30°，请根据下列条件，使用无刻度的直尺各画一个直角三角形，使其一个顶点为A，且一个内角度数为30°．
（1）在图1中，点O在∠P内部；
（2）点C在弦AB上．
18．在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其它都相同.
（1）在其中一个口袋中一次性随机摸出两个球.请写出在这一过程中的一个必然事件；
（2）若分别从两袋中随机各取出一个小球，试求取出两个小球颜色相同的概率.
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19．博雅中学现有学生2870人，学校为了进一步丰富学生课余生活，组织调查各兴趣小组活动情况，为此校学生会进行了一次随机抽样调查．根据采集到的数据，绘制如下两个统计图（不完整）：
请你根据统计图1、2中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出2条有价值信息（不包括下面要计算的信息）；
（2）这次抽样调查的样本容量是多少？在图2中，请将条形统计图中的“体育”部分的图形补充完整；
（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是多少？估计该中学现有的学生中，爱好“书画”的人数．
20．如图，已知一次函数 的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数 ( ＞0)的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D.
（1）求m、n的值；
（2）求△ADC的面积.
21．如图1是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图2，灯杆AB与CD交于点O（点O固定），灯罩连杆CE始终保持与AB平行，灯罩下方FG处于水平位置．测得 OC=20 ，∠COB=70°，∠F=40°，EF=FG，点G到OB的距离为12 ．
（1）求∠CEG度数；
（2）求灯罩的宽度（FG的长，精确到0.1 ，可用科学计算器）．
(参考数据: sin40°=0.642，cos40°=0.766，sin70°=0.939，cos70°=0.342)
22．已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点(不与点A重合)，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交和射线OA于点E．
（1）如图①，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并说明理由．
五、（本大题共10分）
23．在正方形ABCD外侧作直线AP，点 B关 于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F ．
（1）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（2）在图1中，当∠PAB＜45°时，∠BEF是否为定值？如果是求其度数；如果不是，说明理由．
（3）在图2中，当45°＜∠PAB＜90°时，请直接在图中补全图形,∠BEF的度数是否会发生变化？若会发生变化，说明如何变化；若不会，说明理由．
六、（本大题共12分）
24．如图，抛物线 与 轴相交于点 ，其对称轴为 .
(1）求 的值和顶点 的坐标；
(2)过点O作直线 ，使 ∥AB，点P是 上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为 ，当0＜S≤18时，求 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当 取最大值时，抛物线上是否存在点 ，使△OP 为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
江西省2015初三数学下学期期中重点冲刺卷(含答案解析)参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项.
1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．2 8．2（x+2）（x﹣2） 9．3 10．90o 11．
12．（0，－1） 13． 14．13，8，3
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．解:原式= ……………………………………………………2分
= …………………………………………………………………………4分
∵
∴ . …………………………………………………6分
16．解：(1) 点B（4，2）， 轴于 ，
，………………………………………1分
．……………………………3分
(2) 如图所示，……………………………………5分
、 的坐标分别为 ， ．…………6分
17．（1）画图正确得2分；（2）画图正确得4分．………………………………………6分
18．解：（1）（答案不唯一）
必然事件：一次性摸出颜色不同的两个球. …………………………………………2分
（2）（解法一）所有等可能结果用树状图表示如下：
即所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，
∴P（两球颜色相同）= ………………………………………………………………6分
（解法二）所有等可能结果列表如下：
红 白 绿
红 （红，红） （红，白） （红，绿）
白 （白，红） （白，白） （白，绿）
绿 （绿，红） （绿，白） （绿，绿）
由上表可知，所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，
∴P（两球颜色相同）= .
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（1）①电脑小组比音乐小组人数多；
②音乐小组体育小组比例大；等等 2分
（2）∵ ，∴样本容量为80. 4分
画图如下； 6分
（3）∵ ； 7分
∴ ．爱好“书画”的有287人． 8分
20．解：(1)∵点C（4，n）在 的图象上， ∴n=6,∴C（4，6）．………………2分
∵点C（4，6）在 的图象上，∴m=3．…………………………………3分
图象如右.…………………………………………………………………………………4分
(2)∵C点和D点的坐标分别为(4,6)、（4，0），
直线 与x轴的交点A的坐标为（-4，0），
∴AD=8，CD=6．
△ADC的面积为 ．……………………………………………………8分
21.解：（1）延长CE交FG于点H，
∵CE∥OB，FG处于水平位置，
∴EH⊥FG．…………………………………………1分
∵∠F=40°，EF=FG，
∴FH=HG，∠FEH=∠GEH=90°-∠F=50°．
∴∠CEG=130°．……………………………………3分
（2）过点C作OB的垂线CM，垂足为M，
∵OC=20 ，∠COB=70°，
∴CM= ．………5分
延长FG交OB于N，则有HN⊥OB．
由CE∥OB，CM⊥OB，
∴四边形CHNM为矩形，CM=HN．………………………………………………6分
∵点G到OB的距离为12 ，即GH=12 ，
∴HG=HN－GN=CM－GH= 6.78 ．
∴灯罩的宽度FG的长约为13.5 ．………………………………………………8分
22．解:（1）证明：连结OQ，
∵QE为⊙O的切线，Q为切点，
∴∠OQE=∠90°．………………………………………………………………………1分
∵OQ=OB，∴∠OBP =∠OQB．
∵OA⊥OB，
∴∠AQB=∠45°．
∴∠OBP+∠AQE=∠OQE－∠AQB =45°．…………………………………………3分
（2）∠OBP－∠AQE=45°．（图形正确1分，结论正确1分） …………………5分
连结OQ，则有∠OQE=∠90°．
∴∠OQA=90°－∠AQE．
∵OQ=OA，∴∠QOA=180°－2（90°－∠AQE）=2∠AQE．…………………………6分
∵OQ=OB，∠AOB=∠90°，
∴∠QOB=90°－∠AOQ =90°－2∠AQE．
∴∠OBP= =45°+∠AQE，∠OBP－∠AQE=45°．……………………8分
五、（本大题共10分）
23．解：（1）∵点 B关 于直线AP的对称点为E，∠PAB=20°，
∴AE=AB，∠EAB=40°．…………………………………1分
由正方形ABCD可得，AB=AD，∠BAD=90°．
∴AE=AD，∠EAD=130°．
∴∠ADF=25°．……………………………………………3分
（2）设∠PAB= ，
由（1）中的结论可知，∠EAB=2 ．
∴∠AEB=90°－ ，∠AED= = ．……………………5分
∴∠BEF=∠AEB－∠AED==45°．……………………………………………………6分
（3）如图2，∠PFE的度数不会发生变化，仍为45°．……………………………7分
设∠PAB= ，
同理∠EAB=2 ，∠AEB=90°－ ．…………………………………………………8分
∴∠EAD=360°－90°－2 =270°－2 ．………………………………………………9分
∴∠AED= = －45°．
∴∠BEF=∠AED+∠AEB=90°－ + －45°=45°．…………………………………10分
六、（本大题共12分）
24．解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0）. .…………………………………………………………………1分
∴36 +12=0， = .……………………………………………………………………2分
∴抛物线解析式为 .
当 =3时， ,
∴顶点A坐标为（3，3）. ………………………………………………………………3分
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3，3)，B(，0)，
∴ ，解得 ， ∴ .
∵直线 ∥AB且过点O，
∴直线 解析式为 ．
∵点P是 上一动点且横坐标为 ，
∴点P坐标为（ ）．…………………………4分
ⅰ）当点P在第四象限时（t＞0），
= ×6×3+ ×6× =9+3 .
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3 ≤18，-3＜ ≤3．
又 ＞0，∴0＜ ≤3．……………………5分
ⅱ）当点P在第二象限时（ ＜0），
作PM⊥ 轴于M，设对称轴与 轴交点为N. 则
=-3 +9．………………………………………………………………………………6分
∵0＜S≤18，
∴0＜-3 +9≤18，-3≤ ＜3．
又 ＜0，∴-3≤ ＜0．
∴t的取值范围是-3≤ ＜0或0＜ ≤3.…………………………………………8分
(3)存在，………………………………………………………………………………9分
点 坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.……………………………………12分