广州市天河区2015九年级数学下册期中试题(含答案解析)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．4的算术平方根是（）.
A．－2 B．±2 C．2D．16
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，﹣3）在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C.第三象限D.第四象限
4．如果等边三角形的边长为4，那么这个三角形的中位线长为（）.
A．2B．4C．6D．8
5．2015年4月24日6时到11时某城市空气质量指数PM2.5的1小时均值（单位：μg/m3）如下：70，74，78，80，74，75，这组数据的中位数和众数分别是（）.
A．79和74 B．74.5和74C．74和74.5D．74和79
6．要使式子 有意义，则m 的取值范围是（ ）.
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1 且m≠1 D．m≥﹣1 且m≠1
7．△ ABC 与△ A′B′C′是相似图形，且△ ABC 与△ A′B′C′的相似比是1︰2，已知△ ABC 的
面积是3，则△ A′B′C′的面积是（ ）.
A．3 B．6 C．9 D．12
8．如图，PA、PB 是⊙ O 的切线，切点分别是A，B，已知∠ P=60°，OA=3，那么∠ AOB 所对的劣弧的长度为（ ）.
A．6? B．5?C．3? D．2?
9．函数y=﹣x 的图象与函数y=x+1 的图象的交点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C. 第三象限 D．第四象限
10．如图，E 是边长为4 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q，PR⊥BE 于点R，则PQ+PR 的值是（ ）.
第二部分 非选择题（共120 分）
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
11．如图，已知a∥b，∠ 1=45°，则∠ 2= ．
12．因式分解：a2+2a= ．
13．计算（12a3 － 6a2 ） (－2a) = ．
14．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是 ．
15．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m－1＝0有两个实数根，则m的取值范围为 ．
16．如图，在△ABO 中，E 是AB 的中点，双曲线 0)经过A、E 两点，若△ABO
的面积为12，则k=
三、解答题（本大题共9小题，共102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分9分）
解分式方程：
18．（本小题满分9分）
如图，矩形对角线AC，BD相交于点O， ，AB=4cm，求矩形对角线AC和边BC的长.
19．（本 小题满分10分）
某酒家为了解市民对去年销量较好的五仁馅、豆沙馅、红枣馅、双黄馅四种不同口味月饼（以下分别用A，B，C，D表示）的喜爱情况，在节前对人口总数8000人的某社区市民进 行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据信息回答：
（1）将两幅不完整的图补充完整，并估计该社区爱吃D型月饼的人数；
（2）若有外型完全相同的A，B，C，D月饼各一个，小王吃了两个．求他第二个吃到的月饼恰好是C型的概率．
20．（本小题满分10分）
如图，AB是高为60米的铁塔，分别在河边D处测得塔顶A的仰角为60° ，在与B.D同一直线上的河对岸C处测得塔顶A的仰角为40°.
（1）求D点到铁塔距离DB的长；（结果保留根号）
（2）求河岸间CD的宽度.（结果取整数）
21．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2AC.
（1）利用尺规作等腰△DBC，使点D，A在直线BC的同侧，且DB=BC，∠DBC=∠ACB.
（保留作图痕迹，不写画法）
（2）设（1）中所作的 △DBC的边DC交AB于E点，求证: DE=3CE.
22．（本小题满分12分）
市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总量为m3的土石方任务，该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆，甲型车平均每天可以运送土石方80m3，乙型车平均每天可以运送土石方120m3，计划100天完成运输任务.6 10
（1）该公司甲、乙两种型号的 卡车各有多少台？
（2）如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，在甲型卡车数量不变情况下，公司至少应增加多少辆乙型卡车？
23．（本小题满分12分）
如图，直线 与坐标轴分别交于点M，N．
（1）求M，N两点的坐标；
（2）若点P在坐标轴上，且P到直线 的距离为 ，求符合条件的P点坐标．
24．（本小题满分14分）
如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8 )．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
25．（本小题满分14分）
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN.设AM＝x．
i、若点P正好在边BC上，求x的值；
ii、在M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值.
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
广州市天河区2015九年级数学下册期中试题(含答案解析)参考答案及解析：
1、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A B D D D B A
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
题号 11 12 13 14 15 16
答案 45 a(a+2)
72
8
三、解答题（本题有9个小题, 共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分9分）
解： 两边同乘以
-------3分
-------5分
-------7分
经检验： 是原方程的解 -------9分
18.（本题满分9分）
解：在矩形ABCD中 ,AO=BO, -------2分
∵∠AOB=60°
∴AO=BO=AB=4 -------4分
∴AC=2AO=8 ------6分
在RT△ABC 中，BC= = ------9分
19.（本题满分10分）
(1)如图；…3分
(3)8000×40%=3200(人)．答：估计爱吃D粽的人有3200人．……………4分
(2)如图；
(列表方法略，参照给分)．………………………7分
总共有12种可能性，符合条件的有3种
P(C型)＝ ＝ ．……………………10分
20.（本题满分10分）
解：由题可得，
（1）在RT△ABD中，
―――――――――――3分
∴
答：BD的长为 米。 ――――――――――5分
（2）在RT△ABC中，
――――――――――――7分
∴ ―――――――――――8分
CD=CB-BD=36.87≈36.9(米)
答：河宽大约为36.9米―――――――――――――10分
21.（本题满分12分）
（1）（尺规作图4分，略）
（2）证明：过B作BF⊥CD于F ―――――5分
22（本题满分12分）、解：设甲型车有x台，乙型车有y台―――――――1分
―――――――――――4分
答：甲型车有50台，乙型车有50台。 ――――――――――――――――6分
（2）设增派m辆乙型车
―――――――――――――――――――――9分
解得 ――――――――――――――――11分
∵m取最小整数
∴m=17
答：最少增派17台乙型车。 ―――――――――－12分
23、解：（1）当 时， ，∴N（0，4）……………………………1分
当 时， ∴x=3．∴M（3，0 ），…………………………2分
（2）①当 点在y轴上，且在直线下方时，设 到直线的距离为 A，则 A⊥MN，∴∠ AN=∠MON=90°．
∵∠ NA=∠MNO，
∴△ AN∽△MON，∴
在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，
∴MN=5．又∵ ，∴ N=4，
∴ 点坐标是（0，0）；…………………5分
同理，当 点在 轴上，且在直线下方时，同理可得点 坐标是（0，0）；
――――—6分
也可直接观察特殊点O，作 OA⊥MN，求出 ,满足条件，得 点坐标是（0，0）
③当 点在 轴上，且在直线上方时，作 B⊥MN，∴ OA∥ B．
∵OA= B，∴ M=OM=3，∴O =6．（也可用三角形全等说明）
∴ 点坐标是（6，0）；―――――――――――――10分
④当 点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得 N=ON=4．
∴O =8，∴ 点坐标是（0， 8）；―――――――――12分
综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）
24、解（1）设抛物线解析式 为 ，――――――1分
把 代入得 ．―――――――――――――――2分
，――――――――3分（可用多种方法）
，顶点 ） ――――――――4分
（2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，
由 求得直线 的解析式为 ，―――――――5分
它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 ．
则 ，点 到 的距离为 ．
又 ．
．（也可利用相似得出）
平方并整理得： ――――――7分
． ―――――――8分
存在满足条件的点 ， 的坐标为 ．――――――9分
（3）由上求得 ．―――――――――――10分
①若抛物线向上平移，可设解析式为 ．
当 时， ．
当 时， ．
或 ．
． （12分）
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，
有 ． ―――――――――――13分
， ．――――――――――――14分
向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长． ――――――14分
25、解：（1）(i)过点A做AH⊥MN交MN与点H，交BC于点 E，则P与E重合，
∵△AMN沿直线MN折叠得到△PMN
△AMN≌△PMN
AH=PH
∴ --------------------------------1分
∵MN∥BC，
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，――――――――――2分
即x的值为2 -----------------3分
（ii）①当0＜ ≤2时
MN∥BC，
∴ △AMN ∽ △ABC．
即 ．
∴ AN＝ x． ……………4分
∴ y= ．（0＜ ≤2） ………………5分
∴ 当 ＝2时， …………………………………………6分
② 当2＜ ＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
ME=BM=4-x,NF=NC=3- x
∴ ．
．
∴ ． ………………7分
＝ ．……………………8分
当2＜ ＜4时， ．
∴ 当 时，满足2＜ ＜4， ． ……………………………9分
综上所述，当 时， 值最大，最大值是2． ……………………………10分
（2）若直线BC与⊙O相切，如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD = MN．
在Rt△ABC中，BC ＝ =5．
由（1）知 ∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ． ………………―――――――――――――11分
过M点作MQ⊥BC 于Q，则 ．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ， ．
∴ x＝ ．
∴ 当x＝ 时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………13分
所以直线与⊙O位置关系分以下三种
当 时，⊙O与直线BC相离，
当 时，⊙O与直线BC相切
当 时，⊙O与直线BC相交―――――――――――――――14分
（若以其它线段如MN的长度来说明不扣分，相切时MN＝ ）