山西省2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图案是轴对称图形的有（）
A． （1）（3） B． （1）（2） C． （2）（4） D． （2）（3）
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念求解．
解答： 解：（1）不是轴对称图形，（2）是轴对称图形，（3）是轴对称图形，（4）不是轴对称图形．
是轴对称图形的为（2）（3）．
故选D．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）的对称轴是（）
A． x轴 B． y轴 C． 直线y=4 D． 直线x=﹣1
考点： 坐标与图形变化-对称．
分析： 观察两坐标的特点，发现横坐标相同，所以对称轴为平行与x轴的直线，即y=纵坐标的平均数．
解答： 解：∵点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）对称，
∴AB平行与y轴，所以对称轴是直线y= （6+2）=4．
故选C．
点评： 本题主要考查了坐标与图形变化﹣﹣对称特；解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标或利用对应点的坐标求得对称轴．
3．下列各组图形中，是全等形的是（）
A． 两个含60°角的直角三角形
B． 腰对应相等的两个等腰直角三角形
C． 边长为3和4的两个等腰三角形
D． 一个钝角相等的两个等腰三角形
考点： 全等图形．
分析： 综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
解答： 解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；
B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；
C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；
D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．
故选B．
点评： 本题主要考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．
4．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）
A． 80° B． 20° C． 80°或20° D． 不能确定
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．
解答： 解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；
②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．
故选C．
点评： 当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．
5．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）
A． 18 B． 16 C． 14 D． 12
考点： 角平分线的性质．
分析： 首先由线段的比求得CD=16，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离等于CD的长．
解答： 解：∵BC=32，BD：DC=9：7
∴CD=14
∵∠C=90°，AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=14．
故选C．
点评： 此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．
6．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的对角线条数为（）
A． 26 B． 24 C． 22 D． 20
考点： 多边形内角与外角；多边形的对角线．
分析： 先根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
解答： 解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°=1080°，
解得n=8，
∴多边形的对角线的条数是： = =20．
故选D．
点评： 本题考查了多边形的内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，熟记公式是解题的关键．
7．以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 三角形三边关系．
分析： 从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解答： 解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．
故选：C．
点评： 考查了三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
8．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）
A． 90° B． 75° C． 70° D． 60°
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： 根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
解答： 解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
点评： 主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
9．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．
A． 16 B． 28 C． 26 D． 18
考点： 线段垂直平分线的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
解答： 解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线
∴AE=CE
∴AE+BE=CE+BE=10
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18．
故选D．
点评： 本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
10．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（）
A． B． C． D．
考点： 剪纸问题．
专题： 操作型．
分析： 把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
解答： 解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．
点评： 考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是： 则该编码实际上是 BA629 ．
考点： 镜面对称．
专题： 操作型．
分析： 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．
解答： 解：根据在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，
实际编码从左到右依次为：BA629．
故答案为：BA629．
点评： 本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 60°或120° ．
考点： 等腰三角形的性质．
专题： 计算题；分类讨论．
分析： 等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
解答： 解：当高在三角形内部时，顶角是120°；
当高在三角形外部时，顶角是60°．
故答案为：60°或120°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
13．在平面直角坐标系内点P（﹣3，2a+b）与点Q（a﹣b，﹣1）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得 ，解出a、b的值，进而可得a+b的值．
解答： 解：∵点P（﹣3，2a+b）与点Q（a﹣b，﹣1）关于y轴对称，
∴ ，
解得： ，
∴a+b=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
点评： 此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为 15cm或18cm ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为4cm时，②当腰长为7cm时，解答出即可．
解答： 解：根据题意，
①当腰长为4cm时，周长=4+4+7=15（cm）；
②当腰长为7cm时，周长=7+7+4=18（cm）．
故答案为：15cm或18cm．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，是一道基础题．注意还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
15．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 74 度．
考点： 三角形内角和定理．
分析： 利用三角形的内角和外角之间的关系计算．
解答： 解：∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°，
∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，
∵DF⊥CE，
∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．
故答案为：74．
点评： 主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．
16．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5 cm．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．
解答： 解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有 6 个．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
解答： 解：如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
故符合条件的点有6个．
故答案为：6．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
18．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是 6 ．
考点： 等边三角形的性质；旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
解答： 解：∵∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD，
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD（AAS），
即AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6．
故答案为6．
点评： 本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．
三、解答题（共46分）
19．如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： 根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．
解答： 解：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，
作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．
（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，
理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的．
点评： 本题利用了中垂线的性质，轴对称的性质，三角形三边的关系求解．
20．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
21．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE=BE．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论．
解答： 证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
又∠ADE=∠DAB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE=BE．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键．
22．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形．
考点： 作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： 利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1．
解答： 解：△ABC各顶点的坐标为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）；
△ABC关于y轴对称的图形如图中△A1B1C1．
点评： 本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
23．如图在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
考点： 等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解答： 解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB= ∠BAD= ×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°﹣60°=30°，
∴AD= AB= ×9=4.5，
∴DF=4.5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
24．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
考点： 等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 探究型．
分析： 先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解答： 解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵ ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
点评： 考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．
25．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°﹣45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
解答： （1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
点评： 本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．