靖江市2015八年级数学深层次期中测试卷(含答案解析)
一、选择题（每题2分）
1．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④等腰梯形；⑤等腰三角形．其中一定是轴对称图形的有（）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
2．在等腰三角形ABC中∠A=40°，则∠B=（）
A． 70° B． 40°
C． 40°或70° D． 40°或100°或70°
3．下列说法正确的是（）
A． 无限小数都是无理数
B． 带根号的数都是无理数
C． 开方开不尽的带根号数是无理数
D． π是无理数，故无理数也可能是有限小数
4．已知△ABC中，∠BAC=110°，AB、AC的垂直平分线分别交于BC于E，F，则∠EAF的度数（）
A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°
6．下列说法：
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；
⑤算术平方根不可能是负数，
其中，不正确的有（）
A． 2 个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
7．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）
A． 1 B． C． D． 2
8．若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（）
A． B． C． D．
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）
A． 8+2a B． 8+a C． 6+a D． 6+2a
10．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）
A． 4 B． 6 C． 12 D． 14
二、填空题（每题2分）
11．按要求取近似数：0.43万（精确到千位）； 的平方根是．
12．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x﹣b的解集为．
13．等腰三角形的底边长为16cm，腰长10cm，则面积是．
14．直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是．
15．已知 +|x+y﹣2|=0，求x﹣y=．
16．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．
17．若 ，则y=．
18．求下列各式中的x．
（1）若4（x﹣1）2=25，则x=；
（2）若9（x2+1）=10，则x=．
19．若a≥0，则4a2 的算术平方根是．
20．一个数x的平方根等于m+1和m﹣3，则m=，x=．
三、解答题
21．计算：
（1） ；
（2）|﹣2|+（ ）﹣1×（π﹣ ）0﹣ +（﹣1）2．
22．作图：在数轴上画出表示 的点．
23．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
24．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC2+BC2=AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）
25．在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，B的坐标为（4，0）．
（1）求A、C的坐标及直 线BC解析式．
（2）△ABC是直角三角形吗？说明理由．
（3）点P在直线y=2x+2上，且△ABP为等腰三角形，直接写出点P的坐标．
26．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的 ．
（1）求点D的坐标；
（2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
①求证：OF=OG；
②求点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
靖江市2015八年级数学深层次期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分）
1．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④等腰梯形；⑤等腰三角形．其中一定是轴对称图形的有（）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各小题分析判断后即可得解．
解答： 解：①角是轴对称图形；
②直角三角形不一定是轴对称图形；
③等边三角形是轴对称图形；
④ 等腰梯形是轴对称图形；
⑤等腰三角形是轴对称图形；
综上所述，一定是轴对称图形的有①③④⑤共4个．
故选C．
点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在等腰三角形ABC中∠A=40 °，则∠B=（）
A． 70° B． 40°
C． 40°或70° D． 40°或100°或70°
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析： 本题可根据三角形内角和定理求解．由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论．
解答： 解：本题可分三种情况：
①∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=70°；
②∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×40°=100°；
②∠A为底角，∠B为底角，则∠B=40°；
故选D．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；做题时一定要思考全面，本题很容易漏掉一些答案，此类题目易得要当心．
3．下列说法正确的是（）
A． 无限小数都是无理数
B． 带根号的数都是无理数
C． 开方开不尽的带根号数是无理数
D． π是无理数，故无理数也可能是有限小数
考点： 无理数．
专题： 存在型．
分析： 根据无理数的定义对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、无限不循环小数是无理数，故本选项错误；
B、开方开不尽的数是无理数，故本选项错误；
C、开方开不尽的数是无理数，故本选项正确；
D、无理数是无限不循环小数，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数．
4．已知△ABC中，∠BAC=110°，AB、AC的垂直平分线分别交于BC于E，F，则∠EAF的度数（）
A． 20° B． 40° C． 50° D． 60°
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据三角形内角和等于180°求出∠B+∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，AF=CF，根据等边对等角的性质可得∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，然后求解即可．
解答： 解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=110°﹣70°=40°．
故选：B．
点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形内角和定理，等边对等角的性质，整体思想的利用是解题的关键．
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）
A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°
考点： 等边三角形的判定与性质．
分析： 先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．
解答： 解：△ABC沿CD折叠B与E重合，
则BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴C E=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选：B．
点评： 考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．
6．下列说法：
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；
⑤算术平方根不可能是负数，
其中，不正确的有（）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 算术平方根．
分析： ①②③④⑤分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断．
解答： 解：根据平方根概念可知：
①负数没有平方根，故此选项错误；
②反例：0的算术平方根是0，故此选项错误；
③当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，故此选项错误；
④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，故此选项错误；
⑤算术平方根不可能是负数，故此选项正确．
所以不正确的有4个．
故选：C．
点评： 本题主要考查了平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
7．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）
A． 1 B． C． D． 2
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理进行逐一计算即可．
解答： 解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC= = = ；
AD= = = ；
AE= = =2．
故选D．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
8．若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（）
A． B． C． D．
考点： 算术平方根；平方根．
分析： 由于一个正数的算术平方根是a，由此得到这个正数为a2，比这个正数大3的数是a2+3，然后根据平方根的定义即可求得其平方根．
解答： 解：∵一个正数的算术平方根是a，
∴这个正数为a2，
∴比这个数大3的正数的平方根是 ．
故选C．
点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）
A． 8+2a B． 8+a C． 6+a D． 6+2a
考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： △MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．
解答： 解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP
∴△MNP是等边三角形．
又∵MQ⊥PN，垂足为Q，
∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，
∵NG=NQ，
∴∠G=∠QMN，
∴QG=MQ=a，
∵△MNP的周长为12，
∴MN=4，NG=2，
∴△MGQ周长是6+2a．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．
10．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）
A． 4 B． 6 C． 12 D． 14
考点： 动点问题的函数图象．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 根据函数的图象知BC=4，AC=3，根据直角三角形的面积的求法即可求得其面积．
解答： 解：∵D是斜边AB的中点，
∴根据函数的图象知BC=4，AC=3，
∵∠ACB=90°，
∴S△ABC= AC?BC= ×3×4=6．
故选B．
点评： 本题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（每题2分）
11．按要求取近似数：0.43万（精确到千位） 0.4万 ； 的平方根是 ±3 ．
考点： 平方根；近似数和有效数字．
分析： 根据四舍五入法，可得近似数；
根据开方运算，可得算术平方根，再开方运算，可得平方根．
解答： 解：0.43万（精确到千位） 0.4万； 的平方根是±3，
故答案为：0.4万，±3．
点评： 本题考查了平方根，第一求算术平方根，第二次求平方根．
12．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x﹣b的解集为 x＜﹣1 ．
考点： 一次函数与一元一次不等式．
专题： 计算题．
分析： 观察函数图象得到当 x＜﹣1时，函数y=k2x都在函数y=k1x+b的图象上方，从而可得到关于x的不等式k2x＞k1x﹣b的解集．
解答： 解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，
所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13．等腰三角形的底边长为16cm，腰长10cm，则面积是 48cm2 ．
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 等腰三角形ABC，AB=AC，要求三角形的面积，可以先作出BC边上的高AD，则在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD，就可以求出三角形的面积．
解答： 解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=BC=8cm，
∴AD= =6cm，
∴S△ABC= BC?AD=48cm2，
故答案为：48cm2．
点评： 本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，利用勾股定理求出三角形的高AD是解答本题的关键．
14．直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是 13或 ．
考点： 勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 因为不确定哪一条边是斜边，故需要讨论：①当12为斜边时，②当12是直角边时，根据勾股定理，已知直角三角形的两条边就可以求出第三边．
解答： 解：①当12为斜边时，则第三边= = ；
②当12是直角边时，第三边= =13．
故答案为：13或 ．
点评： 本题考查了勾股定理的知识，难度一般，但本题容易漏解，在不确定斜边的时候，一定不要忘记讨论哪条边是斜边．
15．已知 +|x+y﹣2|=0，求x﹣y= 0 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，x﹣1=0，x+y﹣2=0，
解得x=1，y=1，
所以x﹣y=1﹣1=0．
故答案为：0．
点评 ： 本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
16．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 76 ．
考点： 勾股定理．
分析： 通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
解答： 解：设将AC延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．
∵∠BCD=90°
∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2
∴BD=13
∴AD+BD=6+13=19
∴这个风车的外围周长是19×4=76．
故答案为：76．
点评： 本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
17．若 ，则y= ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：由题意得：x﹣2005≥0，2005﹣x≥0，x≠0，
∴可得x=2005，
∴y= = ．
故填： ．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
18．求下列各式中的x．
（1）若4（x﹣1）2=25，则x= 3.5或﹣1.5 ；
（2）若9（x2+1）=10，则x= ．
考点： 平方根．
分析： （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先去括号，再移项合并同类项，最后开方即可．
解答： 解：（1）4（x﹣1）2=25，
开方得：2（x﹣1）=±5，
解得：x=3.5或﹣1.5
故答案为：3.5或﹣1.5；
（2）9（x2+1）=10，
9x2=1，
x2= ，
x= ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的计算能力，注意：当a＞0时，a的平方根是± ，难度不是很大．
19．若a≥0，则4a2的算术平方根是 2a ．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根定义得出4a2的算术平方根是 ，求出即可．
解答： 解：∵a≥0，
∴4a2的算术平方根是 =2a，
故答案为：2a．
点评： 本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解定义并应用定义进行计算是解此题的关键，难度不是很大．
20．一个数x的平方根等于m+1和m﹣3，则m= 1 ，x= 4 ．
考点： 平方根．
专题： 分类讨论．
分析： 根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出m+1+m﹣3=0，求出方程的解即可．
解答： 解：∵一个数x的平方根等于m+1和m﹣3，
∴m+1+m﹣3=0，
解得：m=1，
即m+1=2，
∴x=4，
故答案为：1，4．
点评： 本题考查了对平方根定义的应用，知识点是据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，能得出关于m的方程是解此题的关键．
三、解答题
21．计算：
（1） ；
（2）|﹣2|+（ ）﹣1×（π﹣ ）0﹣ +（﹣1）2．
考点： 负整数指数幂；实数的运算；零指数幂．
分析： （1）首先化简各根式，再进行减法运算即可；
（2）本题涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简、有理数的乘方5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答： 解：（1）
=3﹣2﹣
=﹣ ；
（2）|﹣2|+（ ）﹣1×（π﹣ ）0﹣ +（﹣1）2
=2+3×1﹣3+1
=3．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22．作图：在数轴上画出表示 的点．
考点： 勾股定理；实数与数轴．
专题： 作图题．
分析： 因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 ．再以原点为圆心，以 为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点P，则点P即是要作的点．
解答： 解：如图：OA=3，AB=1，AB⊥OA，由勾股定理得：OB= = = ，
以O为圆心，OB为半径画弧交数轴的负半轴于点P，点P即表示﹣ 的点．
点评： 此题考查的知识点是勾股定理，实数与数轴，关键是能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数．
23．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系？
考点： 角的大小比较．
分析： 在AB上截取AE=AC，连接DE，证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到两角的大小关系．
解答： 解：∠B十∠C=180°．
理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵CD=BD，
∴DE=DB，
∴∠ B=∠DEB，
又∵∠DEB+∠AED=180°，
∴∠B+∠C=180°．
点评： 本题主要考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质和角平分线的定义．
24．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 直角梯形 ， 矩形 ；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC2+BC2=AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）
考点： 勾股数；勾股定理．
专题： 新定义．
分析： 从平时的积累中我们就可以很快想到，正方形和矩形符合．然后根据图形作辅助线CE，看出△CBE为等边三角形，∠DCE为直角利用勾股定理进行解答即可．
解答： （1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．
（2）证明：连接CE，∵BC=BE，∠CBE=60°
∴△CBE为等边三角形，
∴∠BCE=60°
又∵∠DCB=30°∴∠DCE=90°
∴△DCE为直角三角形
∴DE2=DC2+CE2
∵AC=DE，CE=BC
∴DC2+BC2=AC2
点评： 此题关键为能够 看出题中隐藏的等边三角形．
25．在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，B的坐标为（4，0）．
（1）求A、C的坐标及直线BC解析式．
（2）△ABC是直角三角形吗？说明理由．
（3）点P在直线y=2x+2上，且△ABP为等腰三角形，直接写出点P的坐标．
考点： 勾股定理的逆定理；坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质．
分析： （1）利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状；
（3）利用等腰三角形的性质得出AB=PB=5即可得出答案．
解答： 解：（1）∵y=2x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
∵当y=0时，x=﹣1，
∴A（﹣1，0），
设直线BC解析式为y=kx+b，
∵过C（0，2），B（4，0），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC解析式为y=﹣ x+2；
（2）∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），
∴AB=5，AC= ，CB= =2 ，
∵（ ）2+（2 ）2=52，
∴AC2+CB2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如图所示：
∵点P在直线y=2x+2上，且△ABP为等腰三角形，
∴AB=PB=5，
可得点P的坐标（1，4）．
点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出是解题关键．
26．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）GF=GC．
理由如下：连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；
（2）设 GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，
解得x= ．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的 ．
（1）求点D的坐标；
（2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
①求证：OF=OG；
②求点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形．
分析： （1）作DH⊥AB于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ABC=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出BH的值，从而求出D的坐标；
（2）①根据OA=OC，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△COF，就可以得出OF=OG；
②由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标．
（3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M，由△PHC≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OB于H，由△COF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OC于H，由△COF≌△PHC就可以得出结论．
解答： 解：（1）作DH⊥AB于H，
∴∠AHD=∠BHD=90°．
∵OA=OB=OC=6，
∴AB=12，
∴S△ABC= =36，
∵△ABD的面积为△ABC面积的 ．
∴ ×36= ，
∴DH=2．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC．
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠HDB=45°，
∴∠HDB=∠DBH，
∴DH=BH．
∴BH=2．
∴OH=4，
∴D（4，2）；
（2）①∵CE⊥AD，
∴∠CEG=∠AEF=90°，
∵∠AOC=∠COF=90°，
∴∠COF=∠AEF=90°
∴∠AFC+∠FAG=90°，∠AFC+∠OCF=90°，
∴∠FAG=∠OCF．
在△AOG和△COF中
，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴OF=OG；
②∵∠AOG=∠AHD=90°，
∴OG∥DH，
∴△AOG∽△AHD，
∴ ，
∴ ，
∴OG=1.2．
∴OF=1.2．
∴F（1.2，0）
（3）如图1，当∠CPF=90°，PC=PF时，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M
∴∠PHC=∠PHO=∠PMO=∠PMB=90°．
∵∠BOC=90°，
∴四边形OMPH是矩形，
∴∠HPM=90°，
∴∠HPF+∠MPF=90°．
∵∠CPF=90°，
∴∠CPH+∠HPF=90°．
∵∠CPH=∠FPM．
在△PHC和△PMF中
，
∴△PHC≌△PMF（AAS），
∴CH=FM．HP=PM，
∴矩形HPMO是正方形，
∴HO=MO=HP=PM．
∵CO=OB，
∴CO﹣OH=OB﹣OM，
∴CH=MB，
∴FM=MB．
∵OF=1.2，
∴FB=4.8，
∴FM=2.4，
∴OM=3.6
∴PM=3.6，
∴P（3.6，3.6）；
图2，当∠CFP=90°，PF=CF时，作PH⊥OB于H，
∴∠OFC+∠PFH=90°，∠PHF=90°，
∴∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠OFC=∠HPF．
∵∠COF=90°，
∴∠COF=∠FHP．
在△COF和△PHF中
，
∴△COF≌△PHF（AAS），
∴OF=HP，CO=FH，
∴HP=1.2，FH=6，
∴OH=7.2，
∴P（7.2，1.2）；
图3，当∠FCP=90°，PC=CF时，作PH⊥OC于H，
∴∠CHP=90°，
∴∠HCP+∠HPC=90°．
∵∠FCP=90°，
∴∠HCP+∠OCF=90°，
∴∠OCF=∠HCP．
∵∠FOC=90°，
∴∠FOC=∠CHP．
在△COF和△PHC中
，
∴△COF≌△PHC（AAS），
∴OF=HC，OC=HP，
∴HC=1.2，HP=6，
∴HO=7.2，
∴P（6，7.2），
∴P（6，7.2），（7.2，1.2），（3.6，3.6）．
点评： 本题考查了坐标与图象的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时求三角形全等是关键．