湖南省2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.若分式 的值为零,那么x的值为()
A. x=1或x=﹣1 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=0
2.下列命题是真命题的是()
A. 两边及一个角对应相等的两三角形全等
B. 两角及一边对应相等的两三角形全等
C. 三个角对应相等的两三角形全等
D. 面积相等的两三角形全等
3.下列运算正确的是()
A. x2﹣x﹣2=x0 B. x2+x﹣2=x0 C. x2×x﹣2=x0 D. x2÷x﹣2=x0
4.下列计算错误的是()
A. = B. =﹣1
C. =2 D. + =
5.如果把 的x与y都扩大到原来的10倍,那么这个代数式的值()
A. 不变 B. 扩大10倍 C. 扩大100倍 D. 无法确定
6.在等腰△ABC中,∠A的相邻外角是70°,则∠B为()
A. 70° B. 35° C. 110°或35° D. 110°
7.有4条线段,长分别是:2,3,4,5,从中任取3条,可以组成三角形的情况有()
A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
8.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长为()
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 7
9.适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是()
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
10.如图,某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是带③去,依据是三角形的全等判定()
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.当x=时,分式 的值为零.
12. , , 的最简公分母为.
13.计算: =.
14.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74
mm2,这个数用科学记数法表示为.
15.写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题:.
16.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式:.
17.如图,线段AC与BD交于点O,且OA=OC,请添加一个条件,使△OAB≌△OCD,这个条件是.
18.如图,∠ABC=50°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连结EC,则∠ECD的度数是.
19.如图,点D、E分别边AB、AC的中点,将△ADE沿着DE对折,点A落在BC边的点F上,若∠B=50°,则∠BDF=.
20.已知a2+4a+1=0,且 ,则m=.
三、解答题(本题满分60分,21至26题,每小题8分,27题12分)
21.计算:
(1)(π﹣3.14)0+(﹣1)2013﹣(﹣ )﹣2
(2)( ﹣ )?(x﹣y)2.
22.解方程:
(1) ﹣ =0
(2) = .
23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.
求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
24.已知x+y=4,xy=2,求 + 的值.
25.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到B地,他又骑自行车从B 地返回A地,往返所用的时间相等,求此人步行的速度.
26.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.
求证:△ABC≌△MED.
27.(12分)(2014秋?洪江市期中)阅读下列材料:
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
x﹣ =c﹣ (即x+ =c+ )的解是x1=c,x2=﹣ ;
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
…
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想方程x+ =c+ (m≠0)的解,并验证你的结论;
(2)利用这个结论解关于x的方程:x+ .
湖南省2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.若分式 的值为零,那么x的值为()
A. x=1或x=﹣1 B. x=1 C. x=﹣1 D. x=0
考点: 分式的值为零的条件.
分析: 分式的值为零:分子等于零,且分母不等于零.
解答: 解:依题意,得
x2﹣1=0,且x+1≠0,
解得x=1.
故选:B.
点评: 本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
2.下列命题是真命题的是()
A. 两边及一个角对应相等的两三角形全等
B. 两角及一边对应相等的两三角形全等
C. 三个角对应相等的两三角形全等
D. 面积相等的两三角形全等
考点: 全等三角形的判定;命题与定理.
分析: 根据三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.针对每个选项进行分析,即可选出答案.
解答: 解:A、根据两边及夹角对应相等的两三角形全等,故此选项错误;
B、两角及一边对应相等的两三角形全等,故此选项正确;
C、三个角对应相等的两三角形全等,边长不一定相等,故此选错误;
D、面积相等的两三角形不一定全等,故此选项错误.
故选:B.
点评: 本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
3.下列运算正确的是()
A. x2﹣x﹣2=x0 B. x2+x﹣2=x0 C. x2×x﹣2=x0 D. x2÷x﹣2=x0
考点: 负整数指数幂;零指数幂.
分析: 根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加可得答案.
解答: 解:x2?x﹣2=x0,
故选:C.
点评: 此题主要考查了负整数指数幂,关键是掌握同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
4.下列计算错误的是()
A. = B. =﹣1
C. =2 D. + =
考点: 分式的基本性质.
分析: 根据分式的性质,可判断A、B、C;根据分式的加法,可判断D.
解答: 解:A、分式的分子分母都除以(x2y2),分式的值不变,故A正确;
B、分式的分子分母都除以(a﹣b),故B正确;
C、分子分母除以不同的数,分式的值变化,故C错误;
D、同分母分式相加,分子相加分母不变,故D正确;
故选:C.
点评: 本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分式的值不变,注意同分母分式相加分子相加,分母不变.
5.如果把 的x与y都扩大到原来的10倍,那么这个代数式的值()
A. 不变 B. 扩大10倍 C. 扩大100倍 D. 无法确定
考点: 分式的基本性质.
分析: 把x换成10x,y换成10y,然后根据分式的基本性质化简即可.
解答: 解:∵ = ,
∴这个代数式的值扩大10倍.
故选B.
点评: 本题考查了分式的基本性质,熟记性质是解题的关键.
6.在等腰△ABC中,∠A的相邻外角是70°,则∠B为()
A. 70° B. 35° C. 110°或35° D. 110°
考点: 等腰三角形的性质.
分析: 根据邻补角的定义求出∠A的度数,然后根据等腰三角形两底角相等解答.
解答: 解:∵∠A的相邻外角是70°,
∴∠A=180°﹣70°=110°,
∴∠B= ×(180°﹣∠A)= ×(180°﹣110°)=35°.
故选B.
点评: 本题考查了等腰三角形的性质,主要利用了等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质是解题的关键.
7.有4条线段,长分别是:2,3,4,5,从中任取3条,可以组成三角形的情况有()
A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
考点: 三角形三边关系.
分析: 从4条线段里任取3条线段组合,可有4种情况,看哪种情况不符合三角形三边关系,舍去即可.
解答: 解:首先任意的三个数组合可以是2,3,4或2,3,5或3,4,5或2,4,5.
根据三角形的三边关系:其中2+3=5,不能组成三角形.
∴只能组成3个.
故选D.
点评: 考查了三角形的三边关系,三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
8.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长为()
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 7
考点: 等腰三角形的性质;三角形三边关系.
分析: 题目给出等腰三角形有两条边长为2和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
解答: 解:分两种情况:
当腰为2时,2+2<5,所以不能构成三角形;
当腰为5时,2+5>5,所以能构成三角形,周长是:2+5+5=12.
故选:B.
点评: 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
9.适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是()
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
考点: 三角形内角和定理.
专题: 计算题.
分析: 设∠C=x,由∠A=2∠B=3∠C,则∠A=3x,∠B= x,根据三角形内角和定理得到3x+ x+x=180°,解得x= ,则有∠A=3x=3× >90°,即可判断△ABC的形状.
解答: 解:设∠C=x,
∵∠A=2∠B=3∠C,
∴∠A=3x,∠B= x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+ x+x=180°,
解得x= ,
∴∠A=3x=3× >90°,
∴△ABC为钝角三角形.
故选C.
点评: 本题考查了三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°.
10.如图,某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是带③去,依据是三角形的全等判定()
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
考点: 全等三角形的应用.
分析: 根据全等三角形的判定,已知两角和夹边,就可以确定一个三角形.
解答: 解:根据三角形全等的判定方法,根据角边角可确定一个全等三角形,
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边,只有带③去才能配一块完全一样的玻璃,是符合题意的.
故选:B.
点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL,做题时要根据已知条件进行选择运用.
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)
11.当x= ﹣3 时,分式 的值为零.
考点: 分式的值为零的条件.
专题: 计算题.
分析: 要使分式的值为0,必须分式分子的值为0并且分母的值不为0.
解答: 解:要使分式由分子x2﹣9=0解得:x=±3.
而x=﹣3时,分母x﹣3=﹣6≠0.
x=3时分母x﹣3=0,分式没有意义.
所以x的值为﹣3.
故答案为:﹣3.
点评: 本题考查了分式的值为零的条件,分式有意义的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
12. , , 的最简公分母为 6x2y2 .
考点: 最简公分母.
分析: 确定最简公分母的方法是:
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;
(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.
解答: 解: , , 的分母分别是2xy、3x2、6xy2,故最简公分母为6x2y2.
故答案为6x2y2.
点评: 本题考查了最简公分母的定义及确定方法,通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,确定最简公分母的方法一定要掌握.
13.计算: = x+y .
考点: 分式的加减法.
专题: 计算题.
分析: 首先把两分式分母化成相同,然后进行加减运算.
解答: 解:原式= = =x+y.故答案为x+y.
点评: 本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分,最后要注意将结果化为最简分式.
14.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74
mm2,这个数用科学记数法表示为 7.4×10﹣7 .
考点: 科学记数法—表示较小的数.
分析: 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
解答: 解:0.000 000 74=7.4×10﹣7;
故答案为:7.4×10﹣7.
点评: 本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
15.写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题: 线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等 .
考点: 命题与定理.
分析: 写出线段垂直平分线的性质定理即可.
解答: 解:“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题为:线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
故答案为线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
点评: 本题考查了命题:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题.
16.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式: 如果两个角是对顶角,那么它们相等 .
考点: 命题与定理.
分析: 命题中的条件是两个角相等,放在“如果”的后面,结论是这两个角的补角相等,应放在“那么”的后面.
解答: 解:题设为:对顶角,结论为:相等,
故写成“如果…那么…”的形式是:如果两个角是对顶角,那么它们相等,
故答案为:如果两个角是对顶角,那么它们相等.
点评: 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式,“如果”后面是命题的条件,“那么”后面是条件的结论,解决本题的关键是找到相应的条件和结论,比较简单.
17.如图,线段AC与BD交于点O,且OA=OC,请添加一个条件,使△OAB≌△OCD,这个条件是 ∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD .
考点: 全等三角形的判定.
专题: 开放型.
分析: 本题要判定△OAB≌△OCD,已知OA=OC,∠AOB=∠COD,具备了一组边对应相等和一组角对应相等,故添加∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD.
解答: 解:∵OA=OC,∠A=∠C,∠AOB=∠COD,
∴△OAB≌△OCD(ASA).
∵OA=OC,∠B=∠D,∠AOB=∠COD,
∴△OAB≌△OCD(AAS).
∵OA=OC,OD=OB,∠AOB=∠COD,
∴△OAB≌△OCD(SAS).
∵AB∥CD,
∴∠A=∠C,∠B=∠D(两直线平行,内错角相等),
∵OA=OC,
∴△OAB≌△OCD(AAS).
故填∠A=∠C,∠B=∠D,OD=OB,AB∥CD.
点评: 本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
18.如图,∠ABC=50°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连结EC,则∠ECD的度数是 25° .
考点: 线段垂直平分线的性质.
分析: 根据角平分线定义求出∠EBC,根据线段垂直平分线得出NE=CE,推出∠ECD=∠EBC即可.
解答: 解:∵BE平分∠ABD,∠ABC=50°,
∴∠EBD= ∠ABC=25°,
∵AD垂直平分线段BC,
∴BE=CE,
∴∠ECD=∠EBC=25°,
故答案为:25°.
点评: 本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
19.如图,点D、E分别边AB、AC的中点,将△ADE沿着DE对折,点A落在BC边的点F上,若∠B=50°,则∠BDF= 80° .
考点: 翻折变换(折叠问题).
专题: 探究型.
分析: 先根据点D、E分别边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线,故可求出∠ADE=∠B=50°,再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°,由平角的性质即可求解.
解答: 解:∵点D、E分别边AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∴∠ADE=∠B=50°,
∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的,
∴∠EDF=50°,
∴∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°.
故答案为:80°.
点评: 本题考查的是图形翻折变换的性质及平角的性质,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键.
20.已知a2+4a+1=0,且 ,则m= .
考点: 分式的等式证明.
分析: 由a2+4a+1=0,得a2=﹣4a﹣1,代入所求的式子化简即可.
解答: 解:∵a2+4a+1=0,∴a2=﹣4a﹣1,
=
=
=
= =5,
∴(16+m)(﹣4a﹣1)+8a+2=5(m﹣12)(﹣4a﹣1),
原式可化为(16+m)(﹣4a﹣1)﹣5(m﹣12)(﹣4a﹣1)=﹣8a﹣2,
即[(16+m)﹣5(m﹣12)](﹣4a﹣1)=﹣8a﹣2,
∵a≠0,
∴(16+m)﹣5(m﹣12)=2,
解得m= .
故答案为 .
点评: 解题关键是两次用到了整体代入的思想,它在解题中起到了降幂,从而化难为易的作用.
三、解答题(本题满分60分,21至26题,每小题8分,27题12分)
21.计算:
(1)(π﹣3.14)0+(﹣1)2013﹣(﹣ )﹣2
(2)( ﹣ )?(x﹣y)2.
考点: 分式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.
专题: 计算题.
分析: (1)原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用乘方的意义化简,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果.
解答: 解:(1)原式=1﹣1﹣4=﹣4;
(2)原式= ?(x﹣y)2= ?(x﹣y)2=x﹣y.
点评: 此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.解方程:
(1) ﹣ =0
(2) = .
考点: 解分式方程.
专题: 计算题.
分析: 两分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答: 解:(1)去分母得:2x﹣4﹣3x+9=0,
解得:x=5,
经检验x=5是分式方程的解;
(2)去分母得:3x+6=5x,
解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解.
点评: 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.
求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
考点: 角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;直角三角形的性质.
专题: 证明题.
分析: 由于DE⊥AB,易得∠AED=90°=∠ACB,而AD平分∠BAC,易知∠DAE=∠DAC,又因为AD=AD,利用AAS可证△AED≌△ACD,那么AE=AC,而AD平分∠BAC,利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE,即得证.
解答: 证明:∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC,
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD,
∴AE=AC,
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥CE,
即直线AD是线段CE的垂直平分线.
点评: 本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理,解题的关键是证明AE=AC.
24.已知x+y=4,xy=2,求 + 的值.
考点: 分式的化简求值.
分析: 根据x+y=4,xy=2,得出x2+y2=(x+y)2﹣2xy=12,再把要求的式子进行通分,然后代值计算即可.
解答: 解:∵x+y=4,xy=2,
∴x2+y2=(x+y)2﹣2xy=42﹣4=12,
∴ + = + = = = .
点评: 此题考查了分式的化简求值,用到的知识点是完全平方和平方差公式,关键是根据给出的条件求出x2+y2的值.
25.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到B地,他又骑自行车从B 地返回A地,往返所用的时间相等,求此人步行的速度.
考点: 分式方程的应用.
分析: 设步行的速度是x千米/小时,骑自行车的速度是(x+8)千米/小时,汽车的速度是(x+8+16)千米/小时,根据往返所用的时间相等,可列方程求解.
解答: 解:设步行的速度是x千米/小时,
+ = ,
x=6,
经检验x=6符合题意,
答:此人步行的速度6千米/小时.
点评: 本题考查理解题意的能力,关键是以往返所用的时间相等做为等量关系列方程求解.
26.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.
求证:△ABC≌△MED.
考点: 全等三角形的判定.
专题: 证明题.
分析: 根据平行线的性质可得出∠B=∠MED,结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED.
解答: 证明:∵MD⊥AB,
∴∠MDE=∠C=90°,
∵ME∥BC,
∴∠B=∠MED,
在△ABC与△MED中, ,
∴△ABC≌△MED(AAS).
点评: 此题考查了全等三角形的判定,要求掌握三角形全等的判定定理,难度一般.
27.(12分)(2014秋?洪江市期中)阅读下列材料:
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
x﹣ =c﹣ (即x+ =c+ )的解是x1=c,x2=﹣ ;
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
x+ =c+ 的解是x1=c,x2= ;
…
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想方程x+ =c+ (m≠0)的解,并验证你的结论;
(2)利用这个结论解关于x的方程:x+ .
考点: 解分式方程.
专题: 阅读型.
分析: 本题考查观察、比较,猜想、逻辑分析能力,观察所给式子,可看出:如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的未知数换成某个常数,那么这样的方程可直接解得.利用这个结论,可解题.
解答: 解:(1)有两种可能:x=c或 .故x1=c,x2= ,
把x1=c,x2= 代入方程,方程右边的形式与左边完全相同.
(2)有两种可能:x﹣1=a或 .故x1=a,x2= .
点评: 本题要打破常规思维,能够大胆猜想,学会变形整理再去验证.