重庆市2015初二年级数学下册期中重点试题(含答案解析)
一．选择题（共12小题,每题4分，共48分）
1．使代数式 有意义的x的取值范围（）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3
2．下列各数中是负数的是（）
A．﹣（﹣3）﹣1 B．﹣（﹣3）2 C． D．|﹣2|
3．下列各式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（）
A．4a2﹣（2a）2=2a2 B．（﹣a3）?a3=a6 C． D．
5．下列计算正确的是（）
A． B．x6÷x3=x2 C．|﹣3|=±3 D．a2?（﹣a）2=a4
6．计算 的结果估计在（）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
7．已知a、b、c是△ABC三边的长，则 +|a+b﹣c|的值为（）
A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）
8．若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为（）
A．25 B．7 C．7或25 D．9或16
9．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个
10．下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么 =a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）
A．1 B． C． D．2
12．如图在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，一只蚂蚁从点A出发，沿正方体表面爬行到面对角线A1B上的一点P，再沿截面A1BCD1爬行到点D1，则整个过程中蚂蚁爬行的最短路程为（）
A．2 B． C．2+ D．
二．填空题（共6小题,每题4分，共24分）
13．使 有意义的x的取值范围是 _________ ．
14． ﹣ = _________ ．
15．把根式a 根号外的a移到根号内，得 _________ ．
16．已知x= ，y= ，则x与y之间的大小关系是 _________ ．
17．已知一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm，则第三边为 _________ ．
18．如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是 _________ ．
三．解答题（共8小题,19-20每题7分，21-24每题10分，25-26每题12分，共78分）
19．计算：
（1） ；
（2） ．
20．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
21．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣（|a﹣b|﹣ ﹣ ），写出一个满足条件的a值，并求出此时代数式的值．
22．已知x= ，y= ，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．
23．如图，在△ABC中，AB= +1，AC= ，BC=2，求△ABC三个内角的度数．
24．（1）化简： ?（﹣4 ）÷
（2）已知x= ﹣1，求x2+3x﹣1的值．
25．（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 ， ， ，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= 的最小值．
26．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；
（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；
（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．
重庆市2015初二年级数学下册期中重点试题(含答案解析)参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：根据题意，得
，
解得，x≥2且x≠3．
故选D．
2．解：A、﹣（﹣3）﹣1= ＞0；
B、﹣（﹣3）2=﹣9＜0；
C、 =3＞0；
D、|﹣2|=2＞0．
B算式的结果为负数，故选B．
3．解：A、化简后为 ，故本选项错误；
B、化简后为3 ，故本选项错误；
C、 不能化简，故是最简二次根式，故本选项正确；
D、化简得出x ，故本选项错误；
故选C．
4．解：A、4a2﹣（2a）2=4a2﹣4a2=0，此选项错误；
B、（﹣a3）?a3=﹣a3?a3=﹣a6，此选项错误；
C、 =2 ÷ =2，此选项正确；
D、 = = ，此选项错误．
故选C
5．解：A、 ，错误；
B、x6÷x3=x3，错误；
C、|﹣3|=3，错误；
D、a2?（﹣a）2=a4，正确．
故选D．
6．解：原式=4 × +2
=4+2 ，
2 =
∵4＜ ＜5，
∴8＜4+2 ＜9．
故选C．
7．解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0
∴ +|a+b﹣c|=b+c﹣a+a+b﹣c=2b．
故选B．
8．解；当a，b为直角边时，c2=a2+b2=9+16=25，
当a，c为直角边，b为斜边时，c2=b2﹣a2=16﹣9=7．
故选C．
9．解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为 ．
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，
第一种是 ，解得x=5；
第二种是 ，解得x= ．所以可以有2个．
故选：B．
10．解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；
（2）符合二次根式的意义，命题正确；
（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限，故命题正确；
（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．
故A．
11．解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC= = = ；
AD= = = ；
AE= = =2．
故选D．
12．解：展开如图：
连接AD1，则AD1就是整个过程中蚂蚁爬行的最短路程，
过D1作D1E⊥AA1于E，
则∠EA1D1=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ED1A1，
即EA1=D1E，
设EA1=D1E=x，
由勾股定理得：x2+x2=12，
x= ，
即AE=1+ ，ED1= ，
在Rt△EAD1中，由勾股定理得：AD1= = ，
故选D．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵ 有意义，∴2x﹣1≥0
又∵分式有意义，∴2x﹣1≠0
∴2x﹣1＞0，解得x＞ ．
14．解：∵由被开方数大于等0可得，a为负数．
∴ ﹣ =﹣a + ．
故答案为：﹣a + ．
15．解：∵ 有意义，
∴﹣ ≥0，即a＜0，
∴原式=﹣
=﹣ ；
16．解：∵x= ，y= ，
∴x=﹣（ ）=﹣ ，y=﹣（ ）=﹣ ，
∴﹣x= ，﹣y= ，
∵ ＞ ， ＜ ，
∴﹣y ＜﹣x，
∴﹣y＜﹣x，
∴x＜y．
故答案为：x＜y．
17．解：当12是斜边时，第三边长= = cm；
当12是直角边时，第三边长= =13cm；
故第三边的长为： cm或13cm．
18．（解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为17cm；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面距定点最远距离为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为 =13cm，
∵外露的吸管长度要在3cm至5cm间
∴设计的吸管总长度L的范围是16cm≤L≤17cm．
故答案为：16cm≤L≤17cm．
三．解答题（共8小题）
19．解：（1）原式=5﹣7+3
=1；
（2）原式=（2 ）2﹣4 +（ ）2+2 × ﹣（27﹣20）
=12﹣4 +2+2 ﹣7
=7﹣2 ．
20．解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=
而从B点到A点经过路程（20+10）m=30m，
根据路程相同列出方程x+ =30，
可得 =30﹣x，
两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，
整理得：80x=400，
解得：x=5，
所以这棵树的高度为10+5=15m．
故答案为：15m．
21．解：由题意可知：a＜﹣2＜0＜b，则原式=2﹣a﹣[b﹣a+a﹣b]=2﹣a，
当a=﹣3时，原式=5．
22．解：化简x与y得：x= ，y= ，
∴x+y=4n+2，xy=1，
∴将xy=1代入方程，化简得：x2+y2=98，
∴（x+y）2=100，
∴x+y=10．
∴4n+2=10，
解得n=2．
23．解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x，则BD=AB﹣AD= +1﹣x，
∵△ACD与△BCD均是直角三角形，
∴AC2﹣AD2=BC2﹣BD2，即（ ）2﹣x2=22﹣（ +1﹣x）2，解得x= ，
∴BD=1，
∴cosA= = = ，cosB= = ，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠ACB=180°﹣45°﹣60°=75°．
24．（1）解：原式=﹣ ?（﹣ ）÷ ，
=（ ? ? ） ，
=8x2y．
（2）解：x= ﹣1，
∴x2+3x﹣1，
=x2+2x+1+x﹣2，
=（x+1）2+x﹣2，
= + ﹣1﹣2，
=2+ ﹣3，
=﹣1+ ．
25．解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b﹣a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF= ，EF= ，BE= ，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△DEF=（b﹣a）c+ ac+ （d﹣c）（b﹣a）﹣ bd
= （bc﹣ad）；
（2）将b=2﹣a代入U= 中，得U= + ，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B= = ．
26．解：
（1） ；
（2）画图分两种情况：
①当横向剪开时： ，
②当竖向剪开时： ，
∵ ，∴最短路程为 cm．
（3）如图所示：
连接AA1，过点O作OD⊥AA1于点D，
在Rt△ADO和Rt△A1DO中，
∵OA=OA1，
∴AD=A1D，∠AOD= ∠AOA1=60°，
∴AD=OAsin60°=4× =2 ，
∴AA1=2AD=4 ，
∴所求的最短的路程为AA1= ．