导读:随着数学其它分支的发展,研究数论的方法也在不断发展。 关键词:数论,数学规律,积数 1.数论概况 人类从学会计数开始就和自然数打交道了,为了满足生活的需要,人们又以正整数(自然数)为基础定义了负数、有理数等其它的数字。人们把正整数,零及负整数统称为整数。数学和数字的世界是五彩

缤纷的一直以来,数学家们都十分重视对于整数性质的研究,获得了一些重要理论成果,从而对数论乃至整个数学的发展起到了极大的推动作用。通过对整数问题的不断探索和创新,人们熟悉并掌握了整数的许多性质,从而使得数论的理论体系逐步完善。伟大的德国数学家高斯在其出版的天才着作《算术研究》中创立了数论最基本的研究方法,即同余理论。从而开创了现代数论的新纪元。在学科的划分上,有的学科侧重于以研究对象来划,有的学科则侧重于以研究方

法来划分。随着数学其它分支的发展,研究数论的方法也在不断发展。下面根据研究法的不同,介绍一下数论的最基本的四个分支,即初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

用算术方法来研究数论,从而形成数论的一个独立分支,即初等数论分支。初等数论是数学中历史悠久的分支之一它的主要内容为整数的整除理论、不定方程理论、同余理论等。其中整除理论是在带余数除法的基础上建立起来的,是初等数论的基础内容;不定方程理论是促进数论发展的重要内容;同余理论是初等数论所特有的概念和方法,是初等数论的核心部分。致力于一些特殊整数及特殊不定方程的研究的古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。近代着名的数学家费马、欧拉、拉格朗日、高斯等人为近代初等数论的发展作出了卓越的贡献。费马于1640年提出了费马小定理,即如果p是素数,那么对于任何整数。高斯于1801年出版了他的天才着作《算术研究》,书中对同余理论作了较为系统的研究。。人们把高斯这一伟大的着作看作是数论作为数学的一个独立分支的标志。。中国古代文化中也有初等数论知识的记载,如被西方称为中国剩余定理的孙子定理和秦九韶的大衍求一术就驰名世界。

近些年来,初等数论在很多领域得到广泛的应用。解析数论是用解析方法来研究数论中的问题的一个分支,它起源于对素数分布问题的研究。它的基础是由瑞士数学家欧拉建立的。在18世纪,欧拉采用分析的方法给出了欧拉恒等式的证明。可以说,狄利克雷为解析数论的发展奠定了结实的基础。随着不断引进解析的方法来研究哥德巴赫猜想,孪素数,华林问题等着名数论问题而迅速发展。从上个世纪三十年代开始,解析数论在中国得到了较大发展,出现了华罗庚、陈景润等一批着名数论专家,其中华罗庚教授解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题,给出了最佳误差阶估计。随着不断引进解析的方法来研究哥德巴赫猜想,孪生素数,华林问题等着名数论问题而迅速发展。陈景润于1966年对“哥德巴赫猜想”取得了(l+2)的世界最先进的结果,并创立了“陈氏定理”,受到了国际数学界的高度赞扬,称其为筛法的光辉顶点。

2.数论的特点

数论有一个特点:表面简单,实际难。我们知道,许多数论问题是从实际经验中纳总结出来的,因此数论问题的叙述简单明了,很容易被人们理解和接受。尽管如此,数论问题的证明却并非容易。数论在数学中的地位是独特的,加世纪的大数学家希尔伯特称数论是“其它科学的典范”,是“数学知识永不枯竭的源泉”。正因为如此,数论在当代数学家丢多涅的着作《现代数学概观》中被列为A级。数论还有一个特点就是它的对称之美。如素数与合数、孪生素数、三生素数、四生素数以至n生素数,好像双胞胎、三胞胎、四胞胎以至n胞胎一样,一对对、一双双、一群群体态面貌酷似的孪生姐妹、孪生兄弟成双成对,给人以美的享受,赏心悦目,心旷神怡,不得不惊叹自然天成的鬼斧神工!自从有了人类文明,就有了数论,所以数论很“古老”。如欧几里得的《原本》和丢番图的《算术》中就有数论的较为详尽的阐述。然而,到目前为止数论发展还很不完善,正如数学家弥永昌吉所说,“这个理论的大部分仍然笼罩在神奇的面纱之下”。1900年8月6日,第二界国际数学家大会在法国巴黎隆重开幕。年仅38岁的德国大数学家希尔伯特提出了23个重大的问题或难题,提出了新世纪数学界的奋斗目标。正是这些不断提出的新问题,引起了人们研究数论的极大兴趣。人们对数论问题如此的“偏爱”,不单单是想研究数论难题,更重要的是看重在研究难题的过程中产生的新的概念、方法和一些具有重要价值的研究成果对数学的有力的推动作用。 3.数论的应用 数论,来自于实践,同时又反过来为实践服务。现实世界提出的问题导致了数学分支的产生,例如微积分理论、微分方程理论,以及偏微分方程理论等都是这样产生的。随着数论研究的深入,数论中产生的好的思想、方法及结果逐渐渗透到数学的其它领域的研究当中,促进

了其它学科的较快发展,同时这些好的方法与成果在对其的应用中得到了检验,体现了数论研究的巨大价值。因此我们可以说,数论绝不是一个孤立的数学分支。

不仅如此,数论在我们的现实社会中已经有了更为直接的应用,它与我们的生活生产有着千丝万缕的联系。经过近几十年的发展与应用,数论研究所得到的成果已经广泛地应用到社会的各个领域当中。像闻名于世的孙子定理(有称为中国剩余定理),它不仅是初等数论中的一个精美定理,而且在计算机科学、通信理论等现代科学技术领域中也得到了相当广泛的应用,比如有些国家应用“孙子定理”来进行测距等。与数论研究紧密相关的密码问题、信号处理等问题成为数论最直接应用的典型。随着数论研究的深入,数论中产生的大量的好的思想、方法及结果逐渐渗透到数学的其它领域的研究及人们的生活生产实践当中,使得理论与实践更好的结合,促进了其它学科的较快发展,提高了人们的生产实践能力,从而加速了人们生活的现代化进程。因此,人们已经改变了数论是纯理论数学,没有应用价值这一传统看法。而是认为数论研究过程中所形成的理论与研究方法具有实用价值。正如格莱姆于1990年在其公开演讲中宣称的:现在数论是最有用的数学分支!我国数学大师陈省身也主张将数论作为一门应用数学学科来看待。

伴随当今计算机科学与电子技术的飞速发展,密码学研究成为一门重要的学科。传统的密码技术仅仅应用于军事、外交等一些重要领域,但在当前,随着社会的发展,密码技术已经广泛应用到金融、政务、商业等许多重要领域,与我们每个人的生活息息相关,围绕着信息安全,密码学越来越成为一门重要的学科。。 当前世界上几乎所有具有实用价值的公钥密码体系基本上都是基于三种数论难题,即整数分解、离散对数及椭圆曲线上的离散对数。数论问题的设立与加密和编码相联系,而解密和破译则取决于数论问题的求解。数论问题的难解使得密码不易被破译。由此可见,数论研究过程中所形成的理论与研究方法具有实用价值,就是数论里的难题也可为现实生活某些领域提供了数学上的依据。因此数论不仅是典型的纯粹数学,而且它又是得到广泛应用的“应用数学”分支。

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