导读:排列组合应用题思维抽象,解法独特且灵活多变,搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维,培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。加法原理和乘法原理是推导排列组合种数计算公式的重要依据,也是解排列组合问题的关键。推导排列组合公式要用两个原理,解决排列组
合应用题也要用“两个原理”,因此在排列组合内容的教学中应把“两个原理”的教学贯穿始终。
关键词:排列,组合,应用题
排列组合应用题思维抽象,解法独特且灵活多变,搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维,培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。那么,如何搞好这部分内容的教学呢?笔者结合自己多年的教学经验谈几点体会。
一、抓住“两个原理”
1.重视对“两个原理”的教学。“加法原理”和“乘法原理”是推导排列组合种数计算公式的重要依据,也是解排列组合问题的关键。授课时应结合实际多举些例子,让学生明确哪一类问题用“加法原理”,哪一类问题用“乘法原理”;让学生明确在考虑应用两个原理解决问题时,要注意“完成一件事”的办法是分步进行还是分类完成。如果是分步进行,就找出完成每一步的方法数,运用乘法原理来解决;如果是分类完成的,就找出每一类的方法数,运用加法原理来解决。
例1:有五个球要放在三个盒中,共有多少种不同的放法?
此问题的关键是5个球都要放到盒中,而每个球都有3种放法,把其中某个球放到盒中是完成“5个球放到盒中”这件事的一个步骤,只有5个步骤全部完成这件事才算完成,按乘法原理有3×3×3×3×3﹦﹦245(种)
例2:从甲地到乙地每天有1班火车,2班轮船,4班汽车。王红要从甲地到乙地,乘坐这三种交通工具一天有多少种不同走法?
此问题的关键是王红无论乘火车、乘轮船还是乘汽车都能完成从甲地到乙地这件事,且乘火车有1种方法,乘轮船有2种方法,乘汽车有4种方法,按加法原理有1+2+4﹦7(种)
2.贯穿“两个原理”于教学始终。推导排列组合公式要用“两个原理”,解决排列组合应用题也要用“两个原理”,因此在排列组合内容的教学中应把“两个原理”的教学贯穿始终。每解一道题都要注意分析“完成一件事”是分步还是分类,进而明确是用加法原理还是用乘法原理。经过经常化训练,慢慢地学生就会对“两个原理”运用自如了。
二、辨清“排列”“组合”
在解排列组合应用题时,在明确了使用哪个原理的同时,还要提醒学生注意分辨是排列问题还是组合问题。排列是按一定顺序排成的一列元素,两个排列的不同,意味着两个排列的元素不同或元素相同,但元素的排列顺序不同。组合是无顺序约束的一组元素,两个组合的不同,意味着当且仅当两个组合元素的不同。要辨清所解问题是排列还是组合,主要看这个问题与元素的排序有无关系,有关是排列问题,无关是组合问题。
例3:用1分、2分、5分的硬币各一枚,可以组成多少种不同的币值?
三种硬币组成不同币值的方式可分为三类,即分别用一枚两枚三枚组成,且无论用几枚硬币所组成的币值种数与硬币的排序无关,因此是组合问题,共++﹦7(种)
例4:某信号兵用红、黄、蓝三面旗,从上到下插在竖直的旗杆上表示信号,每次可插一面、两面、三面,一共可以表示多少种不同的信号?
解此类问题时要求学生联系实际。挂旗表示信号,与各色旗的上下顺序有关,因此是排列问题。信号又可分为三类,用一面旗、两面旗、三面旗都可独立表示不同信息,因此有++﹦15(种)
三、总结常用方法
讲排列组合应用题时,教师不要急于教给学生解各类问题的方法,可先让学生广开思路,从不同角度分析问题,再把学生的解题方法汇集起来,然后让大家讨论,哪种方法巧妙,哪种方法带有一般性,是常用方法。经归纳总结,解排列组合应用题有以下几种常用方法。
1.直接法。就是根据题中的约束条件,直接使用两个原理,从正面求出符合题意的排列(组合)种数。
例5:五人并排照相,甲必须在中间有多少种不同排法?
解:假设有排好了顺序的五个位置,不考虑甲,先在四个人中选一人站在一号位,再从其余的三人中选一人站在二号位,三号位留给甲,四
号位从余下的二人中选,剩下的1人就是五号位了。共有排法﹦24(种)。也可从把除甲外的四人全排,在每一种排法中让甲站在中间有﹦24(种)。 2.间接法。就是从不考虑约束条件的排列(组合)中剔除不符合约束条件的排列(组合)种数。如例5的间接求法。 解:把5个人的全排列剔除甲不在中间位置的排法,有-4﹦24(
种)。
3.特殊元素优先法。排列组合问题中有些元素有一定的特殊约束条件,求解时先考虑有特殊约束条件的元素。如例5,甲是有特殊约束条件的元素,所以先把甲放在中间位置,其余4人在另外四个位置任意排列,有﹦24(种)。
4.捆扎法(或并元法):排列问题中往往要求某些元素必相邻。解这类问题时可把这些元素捆扎在一起并作一个元素加以排列
例6:5个人并排照相,甲乙二人不分开有多少种不同的排法?
解:可分两步。①把甲乙二人捆扎在一起看作一个元素与其余三人进行全排列,有种,②再把甲乙二人全排列有种,由乘法原理有﹦48种。
5.插空法。排列题经常有某两个元素不相邻的排法。解题时可先排无约束元素,再把有约束元素插在已排好顺序的空中。
例7:5个人排成一排照相,甲乙两人不相邻有多少种排法?
解:分两步:①先把其余三人全排,有种,②三人排好后有4个空可插,甲乙任选二空有种,由乘法原理有﹦72种。
6.先组后排法。有些数列可通过先组合后排列两步完成。
例8:从1、3、5、7、9中取三个数字,从2、4、6、8中取两个数字,共能组成多少个无重复数字的五位数?
解:分三步:①从1、3、5、7、9中取三个数不考虑顺序,有种取法,②从2、4、6、8中取两个数亦不考虑顺序,有种取法,③对取出的五个数进行全排列有种,由乘法原理共有﹦7200种。
7.集合法。就是把排列组合当做集合,用集合的性质及元素个数计算公式来求解。
例9:某一天的课表要排入政治、语文、数学、物理、体育五节课。如果第一节不排体育,第五节不排数学,一共有多少种不同的排法?
解:设全集为,集合A﹦,集合B﹦,则﹦,﹦,﹦,﹦,则符合题意要求的排列法种数为:
﹦+-﹦+-
﹦(-)+(-)-(-)
﹦-2+﹦78(种)
教师在帮助学生归纳出以上几种常用方法后应指出:在解排列组合应用题时要广开思路,不能死记硬背硬套方法,要善于变通,因为有时一道题可能要用到几种方法,所以只有把方法吃透,才能用法得当。
四、检验答案
排列组合应用题种类繁多,思维抽象,一般的答案数较大,学生做完题后往往对答案正确性把握不大。在教学过程中教师应教会学生检查答案的方法。
1.列举法:对元素个数较小的排列组合问题可把符合约束条件的排列或组合一一列举检验。
2.缩数法:对元素个数较多的排列组合可用类比的方法缩小元素个数再用列举法检验。
3.多解法:对同一题用两种或两种以上方法计算易于判断答数正误。
4.讨论法:对实在没把握的问题可相互讨论,采长补短,发现问题,求得正确答数。
总之,在排列组合应用题的教学中,教师要引导学生在做题前一定要认真审题、慎密思考,分清“完成一件事”是过程分步还是方法分类;是排列问题还是组合问题。经过训练,由单一到综合,由简单到复杂,再难的问题也可以解决了。