导读:函数的定义域是函数三要素之关键。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的。解析式,浅谈函数定义域的类型与求法。 关键词:解析式,定义域 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键,特别是函数性质必须从定义域出发,它在解

决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。大全,解析式。本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点,对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。

一 、一般型

即给出函数的解析式求定义域,其解法的一般原则是:

①如果为整式,其定义域为R;

②如果为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;

③如果是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;

④如果是基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等),掌握其函数定义域。

⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;

⑥f(x)=x0的定义域是;

例1:y=lg(6-x2)

解:要使函数有意义,则必须满足

x+5≥0x≥-5

∵ 6-x20 ∴ -

6-x2≠1x≠±

解得- 且x≠±

二、实际问题型

函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。如:

例2:将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,若这个长方形截面的一条边长为x,对角线为d,截面的面积为A,求面积A以x为自变量的函数关系式?

解:设截面的一条边长为x,对角线为d,另一条边为,由题意得:

S=x

故函数解析式为:S=x

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时,S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:

即:函数关系式为:S=x()

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性 。

三 抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况

(1)已知的定义域,求的定义域。

其解法是:已知的定义域是[a,b]求的定义域是解,即为所求的定义域。

例3 已知的定义域为[-2,2],求的定义域。

解:令,

得,即,

因此,从而,

故函数的定义域是

(2)已知的定义域,求f(x)的定义域。

其解法是:已知的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。大全,解析式。

例4 已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。

解:∵1x2,

∴22x4

∴32x+15

故函数f(x)的定义域是

评述:例3和例4是互为逆向的,解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题,抓住已知条件,得到要求函数的未知数。变式题

例5:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],

求y=f(2x-1)的定义域。

解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],

∴ -2x3 ,

∴-1x+14,

∴定义域[-1,4]。

再由-12x-14,得0x

故y=f(2x-1)的定义域是[0, ]。

四 逆向思维型

给出函数的解析式可以求出其定义域,有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域,要求其函数式中参数的取值范围。

例 6已知函数y=的定义域是R ,求实数m的取值范围。 解: 函数y的定义域是R,即要求对任意实数x,mx2-6mx+m+80恒成立。 (1)当m=0时, y=,其定义域为R; (2) 当m0时,要使mx2-6mx+m+80恒成立。只需 m0 △=36m2-4m(m+8) 0 0m1 综上所述,m的取值范围是0le

1。大全,解析式。大全,解析式。

五 隐蔽型

有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐蔽在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。

例7:指出函数的单调区间.

解:先求定义域:

∵∴

∴函数定义域为.

令,知在上时,u为减函数,

在上时, u为增函数。

又∵.

∴函数在上是减函数,在上是增函数。

即函数的单调递增区间,单调递减区间是。

如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性。

六、参数型

对于含有参数的函数,求其定义域时,必须对分母进行分类讨论,要注意讨论字母的方法。

例8:已知函数的定义域为x(-,),求函数g(x)=f(ax)+f()(a0)的定义域。

解:由已知,有 -, -,

xa.

(1) 当a=1时, 定义域为{x∣-

(2) 当a, 即01时, 有--,

定义域为{x∣-

(3)当a, 即a1时, 有--,

定义域为{x∣-

故当a≥1时,定义域为{x∣-

当01时,定义域为{x∣-a}。大全,解析式。

综上所述,在求函数的定义域时,要以基本函数的定义域为基础,遵循以上几条规则.当函数的解析式中含有参数时,要对参数分情况讨论,面面俱到,缺一不可;对于实际问题,函数的定义域除满足解析式之外还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,以防定义域的扩大而前功尽弃。大全,解析式。只有这样,才能拓展思路,增强创新意识,提高分析问题解决问题的能力。