如何促进中国数学教育的深入发展?对此可以分别围绕当务之急、重要生长点与更高追求做出具体分析.本文主要集中于这样一个论点:数学教师的“三项基本功”与数学教育的“三维目标”可以成为中国数学教育的重要生长点,特别是除去对于教师专业成长的直接涵义以外,这直接关系到了如何进一步落实与发扬新一轮数学课程改革所取得的成绩,也即真正超越“知识与技能的学习”,从而达到更高的发展水平.

1.这是人们在当前的一项共识:就数学教师的专业成长而言,相对于纯粹的数学知识与一般性的教学法知识而言,“学科内容教学法知识”(pedagogical content knowledge,简记为PCK)是更为重要的,因为,这不仅可以被看成这两者(以及学习心理学理论)的必要整合,也因落实到了具体的教学内容而对于一线教师就更加易学、易用,从而就在一定程度上有利于改变教育领域中长期存在的理论研究严重脱离教学实践的弊病.

当然,对于所说的“学科内容教学法知识”又可从多个不同角度更为深入地去进行研究(对此可见文[1]).在此要强调的是,上述的发展集中地反映了这样一种认识:无论就数学教育的理论研究或是一线教师的专业成长而言,都应切实立足实际的教学活动,并应更加突出数学学习与教学活动的特殊性.

后者事实上也正是笔者提出数学教师“三项基本功”的一个基本立场,这就是指,尽管数学教师作为教师队伍的一员,同样应当具备一般教师所应具有的基本素养和基本技能,如对于学生与教学工作的高度热爱、较好的普通话水准等,又因为数学构成了数学教学的具体内容,从而数学教师也应具备一定的数学素养和数学能力,如对于数学美的欣赏、一定的计算能力与解题能力等,但是,除去上述这些分别源自“教育”与“数学”的普遍性要求以外,数学教师还应具备一些特殊的素养或能力,后者可被看成数学教育“专业化”的必然要求.这主要包括:第一,善于举例;第二,善于提问;第三,善于比较与优化.

由于笔者已专门撰文对“数学教师的三项基本功”进行了论述[2],在此就仅限于从更为深入的角度指明这样两点:

第一,所说的“三项基本功”都可被看成数学教育特殊性的集中反映.首先,“举例”的重要性显然是由数学的高度抽象性直接决定的,后者又不仅表现于数学概念都是抽象思维的产物,也表现于这样一个事实:数学中的“问题”和“方法”事实上都应被看成一种“模式”,从而在此最为重要的就是如何处理好特殊与一般之间的关系.其次,数学教师之所以应当特别重视“提问”,则是因为“问题提出”与“问题解决”正是数学活动最为基本的形式之一,而且,这又是“问题”恰当性的一个主要涵义,即是否较好地体现了相应的数学思维,也即是“专业的问题解决者……会向自己提出的那些问题.”(巴拉布与达菲语)最后,思维的不断优化事实上也正是数学发展的一个重要特点,即其不仅包括了“横向”的扩展,更是指“纵向”的发展:“它必须重新组织、重新认识,有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂.”(安提卡语)

第二,对于“三项基本功”我们又不应理解成单纯的技能,恰恰相反,就只有从深层次的数学教学思想和教育思想去进行分析,我们才能真正理解它们的精髓与意义.

(1)“善于举例”的主要意义是有利于“理解学习”.也正是从这一立场出发,我们在教学中就不应局限于如何能够针对具体的教学内容选择适当的“例子”,而应更加重视如何很好地去处理数学的形式方面与非形式方面之间的关系.

例如,从后一角度去分析,除去适当的举例以外,概念的教学显然还涉及更多的方面,即如何能将数学概念的学习与具体运作很好地联系起来,如何帮助学生发展相应的视觉形象与数学直觉等(更为一般地说,我们在此就涉及所谓的“多元表征理论”.对此可参见文[3]).另外,对于不同的年级我们也应有不同的重点和要求.例如,如果说“善于举例”主要是针对中学高年级而言的,即是如何通过适当的举例帮助学生较好地理解抽象的数学概念,包括逐步发展起与严格定义相适应的概念意象;那么,在中学的低年级阶段我们就应更加重视如何帮助学生由已有的经验或实例逐步过渡到严格的数学定义,我们并应清楚地看到这里事实上涉及两种不同的思维方式:“隐喻性思维”(描述性定义)与“文本性思维”(建构性定义),后者并就是“数学化”的本质所在,也即是一个建构(或者说重新建构)的活动.

(2)上面已经提及,“善于提问”的基本意义之一即是有利于学生学会数学地思维.正因为此,教师在教学中不仅应很好发挥自身的示范作用,而且也应通过对课堂上所出现的各种问题的及时评价在有意识地去做出引导.容易想到,这些做法直接关系到了学生提出问题能力的培养.

更为一般地说,我们又应清楚地看到“问题情境”的创设对于数学教学的特殊重要性:这直接关系到了如何能够很好地调动学生的好奇心和探究精神,而后者则又可以被看成学生数学学习的根本动力(详见文[4]).当然,对于所说的“问题情境”我们不应局限于具体的生活情境,也不应将此简单地等同于真正的数学研究活动,恰恰相反,我们应当根据学生的实际情况与具体的教学内容和情境对“问题”的恰当性做出分析.

最后,由于“问题”正是数学学习活动的主要载体之一,因此,这事实上就可被看成教师的教学活动是否真正超出“知识和技能的学习”并达到了更高水准的一个具体标志,后者即是指,学生的学习活动是否局限于简单意义上的“问题解决”,特别是,不仅他们所思考的“问题”不应局限于原来的问题.其最终所获得的“解答”也不应局限于原先问题的解答(这方面的一个范例可见文[5]).另外,这又可被看成这方面的一个首要目标,即是应当帮助学生逐步养成这样一种思维习惯:“求取解答并继续前进”(舍费尔德语),这也就是指,我们不应满足于具体解答的获得,并应致力于以此为基础提出新的问题,特别是,由教师给出问题逐步过渡到由学生自己提出问题.

(3)相对于前两者而言,“善于比较与优化”应当说更为直接地涉及数学教育的这样一个目标,即是帮助学生养成一定的“情感、态度与价值观”,或者更为恰当地说,即是充分发挥数学的文化价值.值得指出的是,在一些学者看来,我们可以从后一角度更为深入地去理解数学学习活动的本质:这在很大程度上即可被看成“进入”某种特定文化的过程(毕晓普语).当然,后者在此主要是指“数学文化”,我们应从更为广泛的角度去理解这里所说的“进入”.例如,除去方法的改进与结论的推广以外,“语言”的变化也应被看成“数学文化”的又一具体涵义.具体地说,除去由“非数学语言”向纯粹的“数学语言”的过渡以外,我们又应看到词语的扩展、功能的强化(更加精确、强大,以及由单纯的交流过渡到论证的功能),直至语言基本性质的变化(“非个性化”“客观化”与“标准化”,(欧内斯特语)),等等.

显然,从上述的角度去分析,我们也可更为深入地认识“优化”对于数学学习的特殊重要性,这就是指,正如先前关于数学思维发展性质的分析所已表明的,与数学学习直接相关的“情感、态度与价值观”的养成主要的也是一个后天的过程,其中必定包含一定的冲突和“顺应”的过程.也正因为此,我们在教学中就应特别重视如何能够使得“优化”成为学生的自觉行为,特别是,除去“比较”这样一个环节以外,我们还应清楚地看到“总结与反思”在这一方面的重要作用.又由于比较、总结和反思、优化等可被看成一般性学习活动的主要环节,因此,这也就从又一角度更为清楚地表明了数学教学的这样一个意义,即是有利于学生学会学习.(对此例可见文[6])

2.上面的分析显然表明:为了改进教学,我们不应仅仅关注具体的教学方法或教学模式,而还应当联系教育目标更为深入地去进行思考.更为具体地说,上面所提到的“帮助学生学会数学地思维”和“数学的文化价值”显然就是与“数学教育的三维目标”直接相联系的.以下就对后者做出进一步的分析论述.

首先,能否在上述两个方面取得切实进展,直接关系到了这样一个根本性的教育思想的落实,即是由“知识的传承”向“以学生的发展为本”的重要转变.例如,从后一角度去分析,我们就应对上面所提到的关于如何判断教师的教学活动是否超出了“知识和技能的学习”这一问题做出更为全面的分析,后者即是指,我们不仅应当注意分析教师在教学中是否较好地做到了“帮助学生学会数学地思维”,而且也应十分关注这一教学活动是否体现出了对于“帮助学生养成适当的情感、态度和价值观”的高度关注.

其次,从同一角度去分析,这显然就可被看成新一轮数学课程改革的一个重要贡献,即是明确提出了数学教育的“三维目标”,从而为我国数学教育的深入发展指明了努力方向.

然而,应当强调的是,上述的思想并非全新的创造,因为,即使就我国而言,在新一轮课程改革实施以前就已存在这方面的积极实践.例如,早在20世纪80年代我国的中学数学教育界就已开始了用数学方法论,也即数学思想方法的分析带动具体数学知识内容教学的积极探索,而其基本指导思想就是希望帮助学生学会数学地思维(对此例可见文[7]).另外,就充分发挥数学的文化价值而言,我们则又可以特别提及高等院校的这样一项工作,即是“数学文化课程”的建设[8].

当然,就整体而言我们又可明显地看到发展的不平衡性;另外,笔者在此之所以要对先前的发展做出回顾,主要是为了表明这样一个认识:为了能在上述方面取得切实进展,特别是使之真正成为中国数学教育的普遍特征,还有很长的路要走,我们更应不断增强自身在这一方面的自觉性,包括通过认真地总结与深入反思清楚认识已取得的成绩与不足之外,什么又是进一步工作的关键.

为了清楚地说明问题,在此还可特别提及这样一个事实:“数学教学应当努力做到‘理解学习’(或者说‘意义学习’)”,在当前已经成为一种常识,但在20世纪40~50年代却可说是数学教育领域的一个全新论题,因为当时的主流倾向(至少就英美等西方国家而言)即是认为数学学习的主要任务就是牢牢记住教师所提到的各种算法,并按教师的示范“正确地”加以应用,也即不应出现任何计算的错误或程序的混乱,等等.由此可见,如果采用现代的语言,当时的数学学习就完全是一种“机械学习”或“无意义的学习”.

也正是基于上述的认识,人们就常常将W. Brownett在1947年发表的《意义在算术教学中的地位》[9]称为数学教育理论研究中的一篇“经典论文”,因为从历史的角度看,这一文章曾对促成上述的观念转变发挥了十分重要的作用.另外,考虑到即使在今天数学教育领域中也仍然可以经常看到所说的“机械学习”,人们做出以下的断言也就无足为奇了:“所有学习数学教育的人都应学习这一文章,这不仅因为它的历史贡献,而且也因为它与现今的情况直接相关.”(Lindquist语)

在笔者看来,在此应特别注意W. Brownett在这一文章中所提到的以下一些问题,因为,这就直接关系到了相关的努力是否具有较大的自觉性:(1)理解对于算术学习是否真的不可或缺?(2)所提倡的意义对于学生的学习而言是否太难了?(3)意义的教学是否会占用太多时间,以致影响到其他一些更为重要的方面的学习?(4)假定意义是可以学习的,什么是它们的实际功能,它

们是否真的有用,又是否会对思维的有效性产生一定的干扰?(文[9]第11页)

进而,只需稍作变动,我们显然就可将这些问题直接转移到目前的论题.例如,就“帮助学生学会数学地思维”而言,我们就应具体地去思考:这一目标是否真的很重要?特别是,这究竟是指数学思维本身的价值,还是指其对于数学知识和技能的学习(乃至应对考试)具有一定的作用?又,这一目标是否真的可行?特别是,这对于中小学学生而言是否太难了,又是否会占用太多的教学时间从而影响到其他内容的学习?等等.

应当强调的是,在此所需要的并非纯理论性的解答,而是源自教学实践的切身体验,因为只有这样,所谓的“三维目标”才会真正成为一线教师的自觉追求!

就后一方面的具体工作而言,笔者特别强调这样几点:

第一,这正是我们在当前所面临的一个紧迫任务,即是应对所说的“数学思维”与“情感、态度和价值观”做出清楚界定,并应依据学生的认知发展水平对此做出合理定位.

例如,从数学教育的角度看,我们究竟应当如何去理解这里所说的“情感、态度与价值观”?过去10年在这方面应当说有一定进步,特别是,人们现已逐步建立起了这样的共识:与认识上的“泛化”,以及外插、简单组合等做法相对照,我们在教学中应当更加突出数学自身的文化韵味,并应努力实现“由外而内”的重要转变(这方面的一个实例可见文[10]).但从总体上说,我们的认识仍有进一步深化的必要,或者说,还有很多的工作要做.

事实上,在笔者看来,与“帮助学生养成一定情感、态度与价值观”相比较,“充分发挥数学的文化价值”应当说是一个更为恰当的主张.当然,我们在此仍然应对“什么是数学的文化价值”“什么是数学文化”以及“应当如何从事数学教育的文化研究”等问题做出深入研究.文[4]就是这方面的一个具体工作.除此以外,我们又应特别提及着名数学教育家毕晓普的这样一篇论文:《文化情境中的数学教育》[11],因为,这不仅明确地强调了数学的文化相关性,更以“西方数学”为直接对象对数学对于整体性社会文化的影响进行了具体分析.具体地说,按照毕晓普的观点,如果说“观念”“情感”“社会”和“技术”等要素即可被看成整体性文化最为重要的一些表征,那么,数学作为一种符号技术对于现代西方社会的影响就主要体现于“控制”“客观主义”与“神秘性”这样几个特征,后者就是与上述的“情感”“观念”与“社会”直接相对应的.

显然,毕晓普的这一论述正是对于与数学学习直接相关的“情感、态度与价值观”的一个具体界定,我们并可以为背景更为深入地去从事“数学文化”的研究.例如,在笔者看来,如果说一定的行为方式与思维方式可以被看成“数学文化”的显性成分,那么,一定的价值观念就是后者的核心所在,这集中地体现于数学的“理性精神”.

就“帮助学生学会数学思维”而言我们也应明确强调“清楚界定、合理定位”的重要性,这就是指,我们不仅应当清楚地指明在基础教育阶段究竟应当帮助学生学会哪些数学思维,并应依据学生的认知发展水平对此做出适当定位,也即具体落实到中小学的各个学段或年级.

第二,就当前而言,我们应特别强调加强学习的重要性,特别是,与单纯的理论学习相比较,我们又应更加重视理论的应用与具体案例的分析.因为,无论是就“帮助学生学会数学思维”还是“充分发挥数学的文化功能”而言,教师本身的示范作用与感染力量都是最为重要的,而又只有通过理论的应用,特别是具体案例的分析,我们才能获得这方面的切身体验,从而也才能更为深刻地认识落实“数学教育三维目标”的重要性,并使之真正成为主体的自觉行动.例如,这事实上也就是笔者提出以下建议的一个主要依据:“数学思维的学习,不应求全,而应求用”.

另外,由于教学智慧主要地即可被看成一种“实践性智慧”,“借助于案例去进行思维”又是后者的主要特征[1],因此,这也就从又一角度更为清楚地表明了加强案例分析的重要性,特别是,积极实践基础之上的认真总结与积极反思更可被看成一线教师专业成长的基本途径.

第三,作为高度自觉性的又一重要表现,我们应当超出个人的发展并从社会进步的角度更为深刻地去理解数学学习的意义,从而自觉地承担起数学教师所应承担的社会责任;另外,我们还应善于从辩证的角度去进行分析和思考问题,特别是,在充分肯定数学思维与“数学文化”的积极意义的同时,也应清楚地看到它们的局限性与不足之处.

首先,依据数学在东西方文化中的不同地位我们即可清楚地看到充分发挥数学的文化价值对于中国的特殊重要性.具体地说,这正是西方文明的一个重要特征,即是“数学理性”在其中占据了主导的地位;与此相对照,由于东方文化主要是一种“儒家文化”,也即特别重视伦理道德,数学在古代中国就始终处于无足轻重的地位,也即仅仅被看成是一种实用技艺,后者则又直接造成了“理性精神”在中国传统文化中的匮乏.更为一般地说,如果说在西方文化中数学与理性精神在很大程度上可以被看成处于互相强化的状态,那么,在古代中国这两者就陷入了一种恶性循环:由于在古代中国长期占据主导地位的是所谓的“有机的自然观”,后者突出地强调了内省式的“悟性”,因此,数学的认识功能在古代中国就始终未能得到清楚认识和有效发挥;进而,又正由于数学的认识功能未能得到充分发挥,所说的“有机的自然观”也就始终未能得到有力的冲击.

综上可见,齐民友先生的以下论述就是很有道理的,这更可被看成中国数学教师所应自觉承担的一个社会责任与历史责任:“历史已经证明,而且将继续证明,一个没有相当发达的数学文化的国家是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的.”(文[12]第12~13页)

上面的论述显然也已表明:相对于纯粹的工具作用而言,我们应当更加重视数学的文化价值,包括积极地促成这样一种生活态度的养成,即是努力超越世俗并追求更高层次上的快乐与人生价值.例如,在笔者看来,这也正是以下论述的主要意义所在:“我从孩子们的日记中看到他们分析事理的能力愈来愈强;从课堂中听到他们使用的词汇愈来愈清晰有理;从同学的互动中感觉到容忍与爱心的滋生,一切的一切,让我觉得不只是与他们共同讨论数学而已,重要的是培养一个会做理性批判思考、会主动学习、会容忍异己欣赏别人以及有世界观的‘国民’.”(文[13]第21页)

其次,在充分肯定数学的文化价值的同时,我们又应看到后者也有一定的局限性.例如,毕晓普在上述“经典论文”中提到这样一个论点:由于现行的数学教育主要突出了“数学文化”的这样三个特征:“控制”“客观主义”和“神秘性”,因此,这就是数学教育深入发展的一个重要方面,即是应当努力增强与这三者直接相对立的各个环节:“进步性”“理性主义”与“开放性”.(文[11]第206页)

另外,着名数学家西瓦尔茨也曾专门撰文对数学思维的局限性(按照西方的传统,对此可称为数学的“恶”,就是与数学的“善”,也即数学的积极作用直接相对立的)进行过分析[14].具体地说,按照西瓦尔茨的观点,“简单性”“单一性”和“文本性”正是数学思维的主要特征;然而,由于前两者显然是与事物与对象的“复杂性”和“多元性”直接相对立,另外,除去“文本性”以外,在现实中我们显然也应明确肯定“隐喻性”思维的重要性,因此,从总体上说,我们不仅要强调数学思维的积极意义,而也应当清楚地看到数学作为认识工具和思维方式的局限性.

显然,上面的论述十分清楚地表明了这样一点:我们应当超出数学思维并努力实现“通过数学学会思维”.更为一般地说,这也就是指,无论就思维方式或是文化形式而言,我们都应采取更为开放的立场,也即应当清楚地认识各种思维方式与文化形式的优点与局限性,并由“更为容忍的态度”逐步过渡到于不同思维与不同文化形式的真正欣赏,从而就可依据情境与需要、包括本人特性做出恰当的选择和应用