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计算线段长度的方法技巧

2013-07-04

线段是基本的几何图形,是三角形、四边形的构成元素。同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。这是介绍几个计算,供同学们参考。

1. 利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系

例1. 如图1所示,点C分线段AB为5:7,点D分线段AB为5:11,若CD=10cm,求AB。

图1

分析:观察图形可知,DC=AC-AD,根据已知的比例关系,AC、AD均可用所求量AB表示,这样通过已知量DC,即可求出AB。

解:因为点C分线段AB为5:7,点D分线段AB为5:11

所以

又因为CD=10cm,所以AB=96cm

2. 利用线段中点性质,进行线段长度变换

例2. 如图2,已知线段AB=80cm,M为AB的中点,P在MB上,N为PB的中点,且NB=14cm,求PA的长。

图2

分析:从图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。

解:因为N是PB的中点,NB=14

所以PB=2NB=2×14=28

又因为AP=AB-PB,AB=80

所以AP=80-28=52(cm)

说明:在几何计算中,要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解,要做到步步有根据。

3. 根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解

例3. 如图3,一条直线上顺次有A、B、C、D四点,且C为AD的中点,,求BC是AB的多少倍?

图3

分析:题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又C为AD的中点,即,观察图形可知,,可得到BC、AB、AD又一个方程,从而可用AD分别表示AB、BC。

解:因为C为AD的中点,所以

因为,即

由<1>、<2>可得:

即BC=3AB

例4. 如图4,C、D、E将线段AB分成2:3:4:5四部分,M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点,且MN=21,求PQ的长 初中历史。

图4

分析:根据比例关系及中点性质,若设AC=2x,则AB上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形,已知量MN=MC+CD+DE+EN,可转化成x的方程,先求出x,再求出PQ。

解:若设AC=2x,则

于是有

那么

解得:

所以

4. 分类讨论图形的多样性,注意所求结果的完整性

例5. 已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,求AC的长。

分析:线段AB是固定不变的,而直线上线段BC的位置与C点的位置有关,C点可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图5。

图5

解:因为AB=8cm,BC=3cm

所以

综上所述,线段的计算,除选择适当的方法外,观察图形是关键,同时还要注意规范书写格式,注意几何图形的多样性等。

【练习】

1. 已知如图6,B、C两点把线段AD分成2:3:4三部分,M是线段AD的中点,CD=16cm。求:

(1)MC的长;

(2)AB:BM的值。

图6

2. 如图7所示,已知AB=40cm,C为AB的中点,D为CB上一点,E为DB的中点,EB=6cm,求CD的长。

图7

【答案】

1.

(1)2cm;

(2)4:5

2. 8 cm

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