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幂函数
重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较
两个幂值的大小.
(一)幂函数的定义:一般地,形如 y = x (a R) 的函数称为幂函数,其中 x
是自变量,是常数;
注意:幂函数与指数函数的区别.
规律 1:当 0时,幂函数在[0, ) + 上是增函数;当 0时,幂函数在(0, ) + 上
是减函数;
规律 2:幂函数的图象的分布规律:
(1)在第一象限,作直线x = a(a 1),它同各幂函数图象相交,按交点从下
到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列.
(2)(i)幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限;
(当
偶
奇
= 时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数.)
(ii)幂指数的分子为偶数时,图象在第一、第二象限关于 y 轴对称;
( 当
奇
偶
= 时,幂函数是偶函数)
(iii)幂指数的分子,分母都为奇数时,图象在第一,第三象限关于原点
对称.
(当
奇
奇
= 时,幂函数是奇函数;)
规律 3:幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y = x对称
幂函数的性质:
1.(1)幂函数的图象都过点(1,1); (2)任何幂函数都不过第四象限;
(3)当 0时,幂函数的图象过原点
2.当 0时,幂函数在[0, ) + 上是增函数;
当 0时,幂函数在(0, ) + 上是减函数;
特别地,i)当1 时,幂函数的图象下凹;ii)当 01 时,幂函数的图象上凸;
iii)0 时,在第一象限内,幂函数的图象下凹,过(1,1)后|a|越大,图像下
落的速度越快;当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y
轴正半轴;当 x 趋于+ 时,图象在x轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
3.当=-2,2 时,幂函数是偶函数;当 1
1,1,3, 3
= 时,幂函数是奇函数
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