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本文题目：高一数学第一单元教案：空间几何体的结构
第八编 立体几何
8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1.下列不正确的命题的序号是 .
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
答案 ①②③
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 .
答案 60
3.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 cm2.
答案 (20+4 )
4.(2008宁夏文，14)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为3，那么这个球的体积为 .
答案
5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△ABC的面积为 .
答案 a2
例1 下列结论不正确的是 (填序号).
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案 ①②③
解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定
是棱锥.
②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.
③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.
④正确.
例2 (14分)已知△ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.
解 建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的
高. 3分
把y轴绕原点顺时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC=2OC，A、B点即为A、
B点，AB=AB. 6分
已知AB=AC=a，在△OAC中，
由正弦定理得 = ， 9分
所以OC= = ,
所以原三角形ABC的高OC= a， 12分
所以S△ABC= a a= 2. 14分
例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.
解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：
且AA=BB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形ABC的高为2 cm.
正三角形ABC的边长为
|AB|= =4.
该三棱柱的表面积为
S=344+2 42sin60=48+8 (cm2).
体积为V=S底|AA|= 42sin604=16 (cm3).
故这个三棱柱的表面积为(48+8 )cm2,体积为16 cm3.
例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，
求图中三角形(正四面体的截面)的面积.
解 如图所示，△ABE为题中的三角形，
由已知得AB=2，BE=2 = ,
BF= BE= ,AF= = = ,
△ABE的面积为
S= BEAF= = .
所求的三角形的面积为 .
1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为等腰四棱锥，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 (填序号).
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
答案 ①③④
2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .
答案 2 a2
3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等
腰三角形，左视图(或称侧视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点.
该几何体的体积
V= 864=64.
(2)如图所示，侧面VAB中，VEAB，则
VE= = =5
S△VAB= ABVE= 85=20
侧面VBC中，VFBC，
则VF= = =4 .
S△VBC= BCVF= 64 =12
该几何体的侧面积
S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24 .
4.(2007全国Ⅱ文，15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.
答案 2+4
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