高中最重要的阶段,大家一定要把握好高中,多做题,多练习,为高考奋战,小编为大家整理了数学2014年高三必修同步练习,希望对大家有帮助。
1.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为
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A.34 B.1
C.54 D.74
解析:(如图)过A、B及线段AB中点C向抛物线的准线l作垂线,
垂足分别为A1、B1、C1,CC1交y轴于C0.
由抛物线定义可知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|,
|CC0|=|CC1|-|C1C0|=12(|AA1|+|BB1|)-|C1C0|=32-14=54,故选C.
答案:C
2.(2013天津)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p=
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A.1 B.32
C.2 D.3
解析:由已知得双曲线离心率e=ca=2,得c2=4a2,b2=c2-a2=3a2,即b=3a.又双曲线的渐近线方程为y=bax,抛物线的准线方程为x=-p2,
所以A-p2,bp2a,B-p2,-bp2a,于是|AB|=bpa.由△AOB的面积为3可得12bpap2=3,所以p2=43ab=43a3a=4,解得p=2或p=-2(舍去),故选C.
答案:C
3.(2013江西)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
解析:如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=33p,B点坐标为33p,-p2.又点B在双曲线上,故13p23-p243=1,
解得p=6.
答案:6
4.(2013湖南)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k10,k20,证明:FMFN2p2;
(2)若点M到直线l的距离的最小值为755,求抛物线E的方程.
解:(1)由题意,抛物线E的焦点为F0,p2,直线l1的方程为y=k1x+p2.
由y=k1x+p2,x2=2py得x2-2pk1x-p2=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.
从而x1+x2=2pk1,
y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk21+p.
所以点M的坐标为pk1,pk21+p2,FM=(pk1,pk21),
同理可得点N的坐标为(pk2,pk22+p2),FN=(pk2,pk22),
于是FMFN=p2(k1k2+k21k22).
由题设,k1+k2=2,k10,k20,k1k2,
所以0
故FMFN
(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+p2,|FB|=y2+p2,所以|AB|=y1+y2+p=2pk21+2p,从而圆M的半径r1=pk21+p.
故圆M的方程为(x-pk1)2+y-pk21-p22=(pk21+p)2,
化简得x2+y2-2pk1x-p(2k21+1)y-34p2=0.
同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-34p2=0.
于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k21)y=0.
又k2-k10,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.
因为p0,所以点M到直线l的距离
d=|2pk21+pk1+p|5=p|2k21+k1+1|5
=p2k1+142+785.
故当k1=-14时,d取最小值7p85.由题设,7p85=755,解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.