高中最重要的阶段,大家一定要把握好高中,多做题,多练习,为高考奋战,小编为大家整理了2014年高三必修数学同步训练,希望对大家有帮助。
7.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于不同两点A、B,且AB的中点横坐标为2,则k的值是________.
解析:设A(x1,y1)、B(x2,y2),由y=kx-2,y2=8x,
消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,
由题意得=[-4k+2]2-4k20,x1+x2=4k+2k2=22,
k-1,k=-1或k=2,即k=2.
答案:2
8.椭圆x2a2+y2b2=1(a0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且OPOQ(O为原点).
(1)求证:1a2+1b2等于定值;
(2)若椭圆的离心率e32,22,求椭圆长轴长的取值范围.
解:(1)证明:由b2x2+a2y2=a2b2,x+y-1=0
消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,①
∵直线与椭圆有两个交点,0,
即4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)0
a2b2(a2+b2-1)0,
∵a0,a2+b21.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1、x2是方程①的两实根.
x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a21-b2a2+b2.②
由OPOQ得x1x2+y1y2=0,
又y1=1-x1,y2=1-x2,
得2x1x2-(x1+x2)+1=0.③
式②代入式③化简得a2+b2=2a2b2.④
1a2+1b2=2.
(2)利用(1)的结论,将a表示为e的函数
由e=cab2=a2-a2e2,
代入式④,得2-e2-2a2(1-e2)=0.
a2=2-e221-e2=12+121-e2.
∵3322,5432.
∵a0,5262.
长轴长的取值范围为[5,6].
9.已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设AP=AQ.
(1)若点P关于x轴的对称点为M,求证:直线MQ经过抛物线C的焦点F;
(2)若13,12,求|PQ|的最大值.
解:(1)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1).
∵AP=AQ,x1+1=(x2+1),y1=y2,
y21=2y22,y21=4x1,y22=4x2,x1=2x2,
2x2+1=(x2+1),x2(-1)=-1,
∵1,x2=1,x1=,又F(1,0),
MF=(1-x1,y1)=(1-,y2)
=1-1,y2=FQ,
直线MQ经过抛物线C的焦点F.
(2)由(1)知x2=1,x1=,
得x1x2=1,y21y22=16x1x2=16,
∵y1y20,y1y2=4,
则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=x21+x22+y21+y22-2(x1x2+y1y2)
=+12+4+1-12
=+1+22-16,
13,12,+152,103,
当+1=103,即=13时,|PQ|2有最大值1129,|PQ|的最大值为473.
B组 能力突破
1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则|AF||BF|的值等于
()
A.5B.4
C.3 D.2
解析:记抛物线y2=2px的准线为l,作AA1l,BB1l,BCAA1,垂足分别是A1、B1,C,则有cos 60=|AC||AB|=|AA1|-|BB1||AF|+|BF|=|AF|-|BF||AF|+|BF|=12,由此得|AF||BF|=3,选C.
答案:C
2.(2013课标全国Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为
()
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
解析:以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+p2=5得M5-p2, 2p5-p2.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为52,12 2p5-p2,
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,圆与y轴切于点(0,2),
从而2=12 2p5-p2,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8, 抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
答案:C