勾股定理是中学几何中一个很重要的定理,是继学习三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论.它揭示了直角三角形三边长的内在联系,反映了三边之间特殊的平方关系,它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法,因此应用十分广泛.但在应用勾股定理时,经常会出现这样或那样的错误,那么怎样正确运用勾股定理呢?
一、注意分清直角边和斜边
例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三边长c.
错解:由勾股定理,得 , .所以第三边长为 ㎝.
分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件,忽视了 ,由于 ,所以b应为斜边,而不是c.
正解:因为 , , ,
,故第三边长为 6㎝.
二、注意定理的应用条件
例2 已知 中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c的长.
错解: 由勾股定理,得 , , (㎝).
分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中,本题解法是受"勾3股4弦5 "的影响,错把 当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.
正解: 由三角形三边关系可得 , ,又c为整数, C的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.
三、注意定理和逆定理的区别
例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
错解: ,即 ,所以根据勾股定理可知,a、b、c能构成直角三角形.
分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论,勾股定理是由"形"推得"数",而逆定理则是由"数"推得"形".因此不可混用.
正解: ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三条线段能构成直角三角形.
四、注意解题语言叙述
例4 已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.
错解:因为直角边是5和12,斜边是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.
分析:解法中错在一开始就明示了"直角边"和"斜边",事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为"直角边"、"斜边".
正解: ,满足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.
五、注意分类讨论
例5 在Rt 中,已知两边长为3、4,求第三边的长.
错解: 因为 是直角三角形, 的第三边长为 .
分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能,而忽视了4也可以作为斜边的情况,因此须分类讨论.
正解:(1)若4为直角边,则第三边的长为 ;(2) 若4为斜边, 则第三边的长为 .故第三边长为5或 .
例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求 的周长.
错解:如图1所示,
由勾股定理,得 ,
, .
的周长为 .
分析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在形外的情况,即当 是钝角三角形时.因此须分类讨论.
正解: 由勾股定理,得 , .
(1)若 是锐角(如图1),则 ,这时 的周长为
(2) 若 是钝角(如图2),
则 ,这时 的周长为 .所以 的周长为12或 .
例7已知在Rt 中,两直角边的长为20和15, ,求BD的长.
错解: 如图3所示,
由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得
, ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .
分析:本题错在只考虑了AB的长是20的可能,忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求解.
正解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得 , .
(1)当AB=20时,如图3,BD= .
(2) 当AC=20时,如图4,
BD= .
所以BD的长为16或9 .
当然,应用勾股定理解题时的错误不仅仅上述这些,错误也多种多样,但最根本原因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的,为避免上述错误,大家一定要加强基础知识的学习,在正确理解的基础上强化练习,不断提高自己.