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数 学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用2B铅笔在考生号、座号处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将试卷和答题卷一并交回.
参考公式：
圆锥的侧面积公式 ，其中 是圆锥的底面半径， 是圆锥的母线长.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则 ( ).
A. B. C. D.
2.已知 ，则 ( ).
A. B. C. D.
3.设 ，则 是直线 与直线 平行的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为( ).
A. B.
C. D.
5.在△ABC中， ， ，
则△ABC的面积为( ).
A.3 B.4 C.6 D.
6.函数 的零点所在的一个区间是( ).
A. B. C. D.
7.若双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为( ).
A. B. C.2 D.
8.若过点 的直线与曲线 和 都相切，则 的值为( ).
A.2或 B.3或 C.2 D.
二、题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
(一)必做题(9～13题)
9.若复数 满足 ，则复数 的实部是 .
10. 的展开式中的常数项是 .(用数字作答)
11.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .
12.已知实数 满足 ，则 的最大值
是 .
13.在区间 上随机取一个数 ，在区间 上随机取一个数 ，则关于 的方程 有实根的概率是 .
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)
如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若 ， ，则 的值为 .
15.(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线C的参数方程是 ( 为参数)，以直角坐标系的原点O为极点， 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数 ， 的最大值是1，最小正周期是 ，其图像经过点 .
(1)求 的解析式;
(2)设 、 、 为△ABC的三个内角，且 ， ，求 的值.
17.(本小题满分12分)
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量 (件)1346791012n13
顾客数(人) 20105
结算时间(分钟/人)0.511.522.5
已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%.
(1)确定 与 的值;
(2)若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间 的分布列与数学期望;
(3)在(2)的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.
18.(本小题满分14分)
如图，菱形 的边长为4， ， .将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， .
(1)求证： 平面 ;
(2)求证：平面 平面 ;
(3)求二面角 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与 的大小，并予以证明.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，P为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)动圆 与椭圆 相交于A、B、C、D四点，当 为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.
21.(本小题满分14分)
已知函数 .
(1)是否存在点 ，使得函数 的图像上任意一点P关于点对称的点Q也在函数 的图像上?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由;
(2)定义 ，其中 ，求 ;
(3)在(2)的条件下，令 ，若不等式 对 且 恒成立，求实数 的取值范围.
2014届越秀区高三摸底考试数学(理科)参考答案
一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分.
题号12345678
答案BDCD ACBA
二、题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.
16.(1)依题意得 .由 ，解得 .所以 .
因为函数 的图像经过点 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .所以 .
(2)由(1)得 ，所以 ， .
因为 ，所以 ， .
因为 为△ABC的三个内角，所以
.
17.(1)依题意得， ， ，解得 ， .
(2)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，
， ， ，
， .
所以 的分布列为
0.511.522.5
0.20.40.20.10.1
的数学期望为 .
(3)记该顾客结算前的等候时间不超过2分钟为事件A，该顾客前面第 位顾客的结算时间为 ，由于各顾客的结算相互独立，且 的分布列都与 的分布列相同，所以
为所求.
18.(1)因为O为AC的中点，为BC的中点，所以 .
因为 平面ABD， 平面ABD，所以 平面 .
(2)因为在菱形ABCD中， ，所以在三棱锥 中， .
在菱形ABCD中，AB=AD=4， ，所以BD=4.因为O为BD的中点，
所以 .因为O为AC的中点，为BC的中点，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 平面ABC， 平面ABC， ，所以 平面ABC.
因为 平面DO，所以平面 平面 .
(3)作 于 ，连结DE.由(2)知， 平面ABC，所以 AB.
因为 ，所以 平面ODE.因为 平面ODE，所以 .
所以 是二面角 的平面角.
在Rt△DOE中， ， ， ，
所以 .所以二面角 的余弦值为 .
19.(1)当 时，
.
又 也适合上式，所以 .
(2)由(1)得 ，所以 .
因为 ①，所以 ②.
由①-②得， ，
所以 .
因为 ，
所以确定 与 的大小关系等价于比较 与 的大小.
当 时， ;当 时， ;
当 时， ;当 时， ;，
可猜想当 时， .
证明如下：当 时，
.
综上所述，当 或 时， ;当 时， .
20.(1)因为P是椭圆 上一点，所以 .
在△ 中， ，由余弦定理得
.
因为 ，当且仅当 时等号成立.
因为 ，所以 .
因为 的最小值为 ，所以 ，解得 .
又 ，所以 .所以椭圆C的方程为 .
(2)设 ，则矩形ABCD的面积 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 且 ，所以当 时， 取得最大值24.
此时 ， .
所以当 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 .
21.(1)假设存在点 ，使得函数 的图像上任意一点P关于点对称的点Q也在函数 的图像上，则函数 图像的对称中心为 .
由 ，得 ，
即 对 恒成立，所以 解得
所以存在点 ，使得函数 的图像上任意一点 关于点对称的点 也在函数 的图像上.
(2)由(1)得 .
令 ，则 .
因为 ①，
所以 ②，
由①+②得 ，所以 .
所以 .
(3)由(2)得 ，所以 .
因为当 且 时， .
所以当 且 时，不等式 恒成立 .
设 ，则 .
当 时， ， 在 上单调递减;
当 时， ， 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
所以当 且 时， .
由 ，得 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
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