高三是非常重要的时期，同学们要为即将到来的高考做好准备，查字典数学网提供了2015年高三数学四月调研模拟试题 ，希望对大家有用。
2015年高三数学四月调研模拟试题（文数）
1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在 试题卷上无效。
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：每小题5分，10小题共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填 在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1.设集合 ，集合 ，则集合B中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下图是根据变量x，y的观测数据 得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
3.给出如下四个命题：
①若p q为真命题，则p、q均为真命题;
②若 的否命题为若 ，则
③ 的否定是
④ 是 的充要条件. 其中不正确的命题是
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
4.函数 的零点所在区间为
A.(0， ) B.( ， ) C.( ，1) D.(1，2)
5.已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
A B C D
6.执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为
A. B.
C. D.
7.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定.
若 为D上的动点，点A的坐标为 ，
则 的最大值为
A.3 B.4 C. D.
8.已知函数 ，在 时取得极值，则函数 是
A.偶函数且图象关于点( ，0)对称 B.偶函数且图象关于点( ，0)对称
C.奇函数且图象关于点( ，0)对称 D.奇函数且图象关于点( ，0)对称
9.设平面向量 ， ，其中 记使得 成立的 为事件A，则事件A发生的概率为
A. B. C. D.
10.已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函数记为 ，若对于任意实数x，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可不得分。
11.若复数 ，其中i是虚数单位，则 ▲ .
12.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 ▲ 辆.
13.已知某几何体的三视图(单位cm)如图所示，则该几何体的体积为 ▲ cm3.
(12题图) (13题图)
14.已知圆 ，当圆的面积最小时，直线 与圆相切，则
▲ .
15.分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则 的概率为 ▲ .
16.已知函数 . 若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 ▲ .
17.观察如图三角形数阵，则
(1)若记第n行的第m个数为 ，则 ▲ .
(2)第 行的第2个数是 ▲
三、解答题:本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
18.(本题满分12分) 设函数 .
(1)求 的值域;
(2)记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若 ，求a的值.
19.(本题 满分12分)已知数列 为等比数列，其前n项和为 ，且满足 ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2 )已知 ，记 ，求数列 前n项和 .
20.(本题满分13分)如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， .
(1)求证 ，并指出异面直线PA与CD所成角的大小;
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 ?如果
存在，求出此时三棱锥 与四棱锥 的体
积比;如果不存在，请说明理由.
21.(本题满分14分)已知 ，函数 .
(Ⅰ)当 时，
(1)若 ，求函数 的单调区间;
(2)若关于 的不等式 在区间 上有解，求 的取值范围;
(Ⅱ)已知曲线 在其图象上的两点 ， ( )处的切线分别为 .若直线 与 平行，试探究点 与点 的关系，并证明你的结论.
22.(本题满分14分)已知椭圆 的 离心率 ，且直线 是抛物线 的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P 为椭圆上一点，直线 ，判断l与椭圆的位置关系并给出理由;
(3)过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线 于点 A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
天门市2014年高三年级四月调研考试
数学试题(文科)参考答案及评分标准
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1. 考生在答题前 ，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：每小题5分，10小题共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1.设集合 ，集合 ，则集合B中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下图是根据变量x，y的观测数据 得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
2.D【解析】根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系.
3.给出如下四个命题：
①若p q为真命题，则p、q均为真命题;
②若 的否命题为若 ，则
③ 的否定是
④ 是 的充要条件.
其中不正确的命题是
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
4.函数 的零点所在区间为
A.(0， ) B.( ， ) C.( ，1) D.(1，2)
6.执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为
A. B.
C. D.
6.D【解析】： ，
故周期为4， ，跳出循环. 故输出的a值为 .
7.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 给定.
若 为D上的动点，点A 的坐标为 ，则 的最大值为
A.3 B.4 C. D.
7.B 【解析】：画出区域D如图所示，则 为图中阴影
部分对应四边形OABC上的动点，又 ，
当目标线过点 时， .
8.已知函数 ，在 时取得极值，则函数 是
A.偶函数且图象关于点( ，0)对称 B.偶函数且图象关于点( ，0)对称
C.奇函数且图象关于点( ，0)对称 D.奇函数且图象关于点( ，0)对称
9.设平面向量 ， ，其中 记使得 成立的 为事件A，则事件A发生的概率为
A. B. C. D.
10.已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函数记为 ，若对于任意实数x，有 ，且 为奇函数，则不等式
A. B. C. D.
10.B【解析】：令 ，所以 在R上是减函数，又 为奇函数，所以 ，所以 ，所以原不等式可化为 ，所以 ，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可不得分。
11.若复数 ，其中i是虚数单位，则 ▲ .
11.1【解析】：因为 ，
所以 .
12.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过
这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，
则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 ▲ 辆.
12.80【解析】：在该路段超速的汽车数量的频率为
，故这200辆汽车中在该路段超速的数量为2000.6=120.
13.已知某几何体的三视图(单位cm)如图所示，则该几何体的体积为 ▲ cm3.
面积为 ，故 的概率为 .
1 6.已知函数 . 若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 ▲ .
16.[-3，5]【解析】： ，即 的最小值等于4，所以 ，解此不等式得 或 . 故实数 的取值范围为[-3，5].
17.观察如图三角形数阵，则
(1)若记第n行的第m个数为 ，则 ▲ .
(2)第 行的第2个数是 ▲ .
17.41 【解析】：(1)列出三角数阵到第7行，可知 ;
(2)设 行的第2个数构成数列 ，
因为
所以 ，又 ，
所以 .
三、解答题:本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。
18.(本题满分12分)
设函数 .
(1)求 的值域;
(2)记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若 ，求a的值.
18.【解析】：(1)
4分
因此 的值域为[0，2]. 6分
(2)由 得 ，
即 ，又因 ，故 . 9分
解法1：由余弦定理 ，得 ，
解得 . 12分
解法2：由正弦定理 ，得 . 9分
当 时， ，从而 ; 10分
当 时， ，又 ，从而 . 11分
故a的值为1或2. 12分
19.(本题满分12分)
已知数列 为等比数列，其前n项和为 ，且满足 ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式;
(2)已知 ，记 ，求数列 前n项的和 .
19.【解析】：(1)设 的公比为q， ∵ 成等差数列，
1分
， 化简得 ，
3分
又 ， ，
6分
( 2)∵ ， ， 8分
，
2 ，
，11分
12分
20.(本题满分13分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， .
(1)求证 ，并指出异面直线PA与CD所成角的大小;
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 ?如果
存在，求出此时三棱锥 与四棱锥 的体
积比;如果不存在，请说明理由.
20.【解析】：(1)∵ ， ，
2分
∵四边形 为矩形， ，
又 ， 4分
故 ， 5分
PA与CD所成的角为 6分
(2)当点E为棱PD的中点时， 6分
下面证明并求体积比：
取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO.
∵四边形 为矩形，O为BD的中点
又E为棱PD的中点， .
∵ ，
8分
当E为棱PD的中点时， ，
又 ，
即三棱锥 与四棱锥 的体积比为1:413分
21.(本题满分14分)已知 ，函数 .
(Ⅰ)当 时，
(1)若 ，求函数 的单调区间;
(2)若关于 的不等式 在区间 上有解，求 的取值范围;
(Ⅱ)已知曲线 在其图象上的两点 ， ( )处的切线分别为 .若直线 与 平行，试探究点 与点 的关系，并证明你的结论.
21.【解析】：(Ⅰ)(1)因为 ，所以 ， 1分
则 ，
而 恒成立，
所以函数 的单调递增区间为 . 4分
(2)不等式 在区间 上有解，
即不等式 在区间 上有解，
即不等式 在区间 上有解，
等价于 不小于 在区间 上的最小值. 6分
因为 时， ，
所以 的取值范围是 .9分
Ⅱ.因为 的对称中心为 ，
而 可以由 经平移得到，
所以 的对称中心为 ,故合情猜测，若直线 与 平行，
则点 与点 关于 点 对称. 10分
对猜想证明如下：
因为 ，
所以 ，
所以 ， 的斜率分别为 ， .
又直线 与 平行，所以 ，即 ，
因为 ，所以， ， 12分
从而 ，
所以 .
又由上 ，
所以点 ， ( )关于点 对称.
故当直线 与 平行时，点 与 点 关于点 对称.14分
22.(本题满分14分)
已知椭圆 的离心率 ，且直线 是抛物线 的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P 为椭圆上一点，直线 ，判断l与椭圆的位置关系并给出理由;
(3)过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线 于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
22.【解析】：(1)因为直线 是抛物线 的一条切线，
所以 ，
即 2分
又 ，所以 ，
所以椭圆的方程是 . 4分(2)由 得
由①2+② 得
直线l与椭圆相切9分
(3)首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，
求得两圆的方程为
，
两圆相交于点( ，0)，( ，0)，
若定点为椭圆的右焦点( .
则需证： .
设点 ，则椭圆过点P的切线方程是 ，
所以点
，
所以 .11分
若定点为 ，
则 ，不满足题意.
综上，以线段AP为直径的圆恒过定点( ，0).14分
希望提供的2015年高三数学四月调研模拟试题 ，能够帮助大家做好的高考冲刺复习，在高考中取得好成绩!