高三数学试题下学期一、选择题(每小题5分，共25分)
1.下列各式中对xR都成立的是().
A.lg(x2+1)lg(2x) B.x2+12x
C.1x2+1 D.x+1x2
解析 A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2+1 2x，故B不正确.
答案 C
2.用反证法证明命题：已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除时，反设正确的是().
A.a，b都不能被5整除
B.a，b都能被5整除
C.a，b中有一个不能被5整除
D.a，b中有一个能被5整除
解析 由反证法的定义得，反设即否定结论.
答案 A
3.(2011福州调研)下列命题中的假命题是().
A.三角形中至少有一个内角不小于60
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D.设a，bZ，若a+b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数
解析 a+b为奇数a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.
答案 D
4.命题如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列是否成立().
A. 不成立 B.成立 C.不能断定 D.能断定
解析 ∵Sn=2n2-3n，
Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n2)，
an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1 时，a1=S1=-1符合上式).
又∵an+1-an=4(n1)，
{an}是等差数列.
答案 B
5.设a、b、c均为正实数，则三个数a+1b、b+1c、c+1a().
A.都大于2 B.都小于2
C .至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
解析 ∵a0，b0，c0，
a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+
c+1c6，
当且仅当a=b=c=1时，=成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.用反证法证明命题三角形的三个内角中至少有一个不大于60时，假设应该是_______________________________________ _______.
解析 用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论.
答案 三角形的三个内角都大于60
7.要证明3+725可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号).
①反证法，②分析法，③综合法.
答案 ②
8.(2011韶关模拟)下列条件：①ab0，②ab0，③a0，b0，④a0，b0，其中能使ba+ab2成立的条件的个数是________.
解析 要使ba+ab2，只要ba0且ab0，即a，b不为0且同号即可，故有3个.
答案 3
三、解答题(共23分)
9.(11分)设a0，b0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab8.
证明 ∵a+b=1，
1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab
=1+ba+1+ab+a+bab2+2baab+a+ba+b22
=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时 等号成立.
10.(12分)已知非零向量a，b，且ab，求证：|a|+|b||a+b|2.
证明 ab ab=0，
要证|a|+|b||a+b|2.
只需证|a|+|b|2|a+b|，
只需证|a|2+2|a||b|+|b|22(a2+2ab+b2)，
只需证|a|2+2|a||b|+|b|22a2+2b2，
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|0，
即(|a|-|b|)20，
上式显然成立，故原不等式得证.
B级 综合创新备选
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.已知函数f(x)=12x，a，b是正实数，A=fa+b2，B=f(ab)，C=f2aba+b，则A、B、C的大小关系为().
A.AC B.AB
C.BA D.CA
解析 ∵a+b22aba+b，
又f(x)=12x在R上是减函数.
fa+b2f(ab)f2aba+b.
答案 A
2.定义一种运算*：对于自然数n满足以下运算性质：
①1]().
A.n B.n+1 C.n-1 D.n2
解析 由(n+1)*1=n*1+1，得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2==1]
答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3.如果aa+bbab+ba，则a、b应满足的条件是________.
解析 首先a0，b0且a与b不同为0.
要使aa+bbab+ba，只需(aa+bb)2(ab+ba)2，即a3+b3a2b+ab2，只需(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)，只需a2-ab+b2ab，即(a-b)20，只需ab.故a，b应满足a0，b0且ab.
答案 a0，b0且ab
4.设x，y，z是空间的不同直线或 不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证若xz，且yz，则x∥y为真命题的是________(填写所有正确条件的代号).
①x为直线，y，z为平面;②x，y，z为平面;③x，y为直线，z为平面;④x，y为平面，z为直线;⑤x，y，z为直线.
解析 ①中x平面z，平面y平面z，
x∥平面y或x平面y.
又∵x平面y，故x∥y成立.
②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立.
③xz，yz，x，y为不同直线，故x∥y成立.
④zx，zy，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立.
⑤x，y，z均为直 线，x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立.
答案 ①③④
三、解答题(共 22分)
5.(10分)若a、b、c是不全相等的正数，求证：
lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lg a+lg b+lg c.
证明 ∵a，b，c(0，+)，
a+b20，b+c20，a+c20.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
a+b2b+c2c+a2abc成 立.
上式两边同时取常用对数，
得lga+b2b+c2c+a2lg(abc)，
lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lg a+lg b+lg c.
6.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)=0，且 0
(1)证明：1a是f(x)=0的一个根;
(2)试比较1a与c 的大小;
(3)证明：-2
(1)证明 ∵f(x )的图象与x轴有两个不同的交点，
f(x)=0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)=0，x1=c是f(x)=0的根，
又x1x2=ca，x2=1a1ac，
1a是f(x)=0的一个根.
(2)解 假设1a
由0
知f1a0与f1a=0矛盾，1ac，
又∵1ac，1ac.
(3)证明 由f(c)=0，得ac+b+1=0，
b=-1-ac.
又a0，c0，b-1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x=-b2a=x1+x22
即-b2a1a.又a0，
b-2，-2