【摘要】大家把理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的不足，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的高三数学期中试题及答案，希望对大家有帮助。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1.(2011辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z=1+2ii5，则它的共轭复数z-等于()
A.2-i B.2+i
C.-2+i D.-2-i
[答案] B
[解析] z=1+2ii5=1+2ii=2-i，故其共轭复数是2+i.
2.(文)(2011辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是()
A.1320 B.132
C.11880 D.121
[答案] A
[解析] 运行过程依次为：i=12，x=1x=12，i=11x=132，i=10x=1320，i=9，此时不满足i10，输出x的值1320.
(理)(2011江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()
A.k=9 B.k8
C.kD.k8
[答案] D
[解析] 运行过程依次为k=10，S=1S=11，k=9S=20，k=8输出S=20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k8.
3.(文)(2011黄冈市期末)若复数a+3i1+2i(aR，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()
A.-2 B.4
C.-6 D.6
[答案] C
[解析] ∵a+3i1+2i=a+3i1-2i1+2i1-2i=a+6+3-2ai5是纯虚数，aR，
a+6=03-2a0，a=-6，故选C.
(理)(2011温州八校期末)若i为虚数单位，已知a+bi=2+i1-i(a，bR)，则点(a，b)与圆x2+y2=2的关系为()
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.不能确定
[答案] A
[解析] ∵a+bi=2+i1-i=2+i1+i2=12+32i(a，bR)，a=12b=32，
∵122+322=522，点P12，32在圆x2+y2=2外，故选A.
4.(文)(2011合肥市质检)如图所示，输出的n为()
A.10 B.11
C.12 D.13
[答案] D
[解析] 程序依次运行过程为：n=0，S=0n=1，S=121-13=-111n=2，S=122-13=-19，
S=-111-19-17-15-13-1+1+13+15+17+19+111+1130，此时输出n的值13.
(理)(2011丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a1，a2，，an，其中nN*且n2010.那么数列{an}的通项公式为()
A.an=23n-1 B.an=3n-1
C.an=3n-1 D.an=12(3n2+n)
[答案] A
[解析] 程序运行过程依次为a=2，n=1，输出a=2，即a1=2，n=2，a=32=6，不满足n2010输出a=6，即a2=23，n=3，a=36=18，仍不满足n2010输出a=18，即a3=232因此可知数列{an}的通项公式为an=23n-1(n2010).
5.(2011蚌埠二中质检)下列命题错误的是()
A.对于等比数列{an}而言，若m+n=k+S，m、n、k、SN*，则有aman=akaS
B.点-8，0为函数f(x)=tan2x+4的一个对称中心
C.若|a|=1，|b|=2，向量a与向量b的夹角为120，则b在向量a上的投影为1
D.sin=sin的充要条件是+=(2k+1)或-=2k (kZ)
[答案] C
[解析] 由等比数列通项公式知，aman=a21qm+n-2=a21qk+S-2=a1qk-1a1qS-1=akaS，故A正确;
令2x+(kZ)得，x=k8，
令k=0得x=-8，-8，0是函数f(x)=tan2x+4的一个对称中心，故B正确;
b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉=2cos120=-1，故C错;
由sin=sin得=2k或=2k-，+=(2k+1)或-=2kZ)，故D正确.
6.(2011安徽百校联考)已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=4a1，则1m+4n的最小值为()
A.32 B.53
C.256 D.不存在
[答案] A
[解析] ∵{an}为等比数列，an0，a7=a6+2a5，a1q6=a1q5+2a1q4，q2-q-2=0，q=-1或2，∵an0，
q=2，∵aman=4a1，a1qm-1a1qn-1=16a21，
qm+n-2=16，即2m+n-2=24，m+n=6，1m+4n=16(m+n)1m+4n=165+nm+4mn32，等号在nm=4mn，即m=2，n=4时成立，故选A.
7.(2011山东日照调研)二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()
A.aB.a0
C.aD.a-1
[答案] D
[解析] ∵方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根，a0f00或a0f00，a0，因此，当a-1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a-1，故选D.
8.观察等式：sin230+cos260+sin30cos60=34，sin220+cos250+sin20cos50=34和sin215+cos245+sin15cos45=34，，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是()
A.sin2+cos2+sincos=34
B.sin2(-30)+cos2+sin(-30)cos=34
C.sin2(-15)+cos2(+15)+sin(-15)cos(+15)=34
D.sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=34
[答案] A
[解析] 观察已知等式不难发现，60-30=50-20=45-15=30，推广后的命题应具备此关系，但A中与无联系，从而推断错误的命题为A.选A.
9.(2011山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=x1+|x|(xR)，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f(x)的值域为(-1,1);
乙：若x1x2，则一定有f(x1)
丙：若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)=x1+n|x|对任意nN*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有()
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
[答案] A
[解析] 当x0时，f(x)=x1+x(0,1)，当x=0时，f(0)=0，当x0时，f(x)=x1-x(-1,0)，f(x)的值域为(-1,1)，且f(x)在(-，+)上为增函数，因此，x1x2时，一定有f(x1)f(x2).
∵f(x)=x1+|x|，f1(x)=f(x)，f1(x)=x1+|x|，又fn(x)=f(fn-1(x))，
f2(x)=f(f1(x))=fx1+|x|=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，
f3(x)=f(f2(x))=fx1+2|x|=x1+2|x|1+|x|1+2|x|=x1+3|x|
可知对任意nN*，fn(x)=x1+n|x|恒成立，故选A.
10.(2011陕西宝鸡质检)如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|M(x)恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：
①f(x)=1; ②f(x)=x2;
③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)=xx2+x+1.
其中属于有界泛函数的是()
A.①② B.①③
C.②④ D.③④
[答案] D
[解析] 对任意实数x.∵sinx+cosx=2sinx+2，存在常数M2，有|sinx+cosx|M成立，
|x(sinx+cosx)|M|x|，即|f(x)|M|x|成立，③是有界泛函数;
又∵x2+x+1=x+122+3434，
1x2+x+143，存在常数M43，使|x||x2+x+1|M(x)，即|f(x)|M|x|成立，
故④是有界泛函数，因此选D.
11.(2011北京学普教育中心联考版)观察下列算式：
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，
用你所发现的规律得出22011的末位数字是()
A.2 B.4
C.6D.8
[答案] D
[解析] 观察发现，2n的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.
12.(2011河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫莱布尼兹调和三角形，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11=12+12，12=13+16，13=14+112，，则第10行第4个数(从左往右数)为()
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
A.11260 B.1840
C.1504 D.1360
[答案] B
[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19-110=190，第9行第1个数为19，第2个数为18-19=172，第10行第3个数为172-190=1360，第8行第1个数为18，第2个数为17-18=156，故第9行第3个数为156-172=1252，第10行第4个数为1252-1360=1840.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13.(文)(2011江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21+a22=1，那么a1+a22.证明：构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1+a2)2-80，所以a1+a22.类比上述结论，若n个正实数满足a21+a22++a2n=1，你能得到的结论为________.
[答案] a1+a2++ann(nN*)
[解析] 构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2++(x-an)2=nx2-2(a1+a2++an)x+1，
∵f(x)0对任意实数x都成立，
=4(a1+a2++an)2-4n0，
∵a1，a2，，an都是正数，a1+a2++ann.
(理)(2011北京学普教育中心)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________.
[答案] 6a3
[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高;正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a3.
14.(2011湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z1=(1-2i)i对应向量为a，z2=1-3i1-i对应向量为b，那么a与b的数量积等于________.
[答案] 3
[解析] z1=2+i对应向量a=(2,1)，z2=1-3i1-i=1-3i1+i2=2-i对应向量b=(2，-1)，
ab=3.
15.(2011辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，下列函数：①f(x)=sinx;②f(x)=3(x-1)2+2;③f(x)=14x;④f(x)=log0.5x，其中是一阶格点函数的有________.
[答案] ①②
[解析] f(x)=sinx通过的格点只有(0,0);f(x)=3(x-1)2+2经过的格点只有(1,2);f(x)=log0.5x经过的格点有(2n，-n)，n=0,1,2f(x)=14x经过的格点至少有(0,1)，(-1,4)，故填①②.
16.(2011杭州市质检)设n为正整数，f(n)=1+12+13++1n，计算得f(2)=32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为________.
[答案] f(2n)n2+1
[解析] f(2)=32=12+1，f(4)=f(22)2=22+1，f(8)=f(23)52=32+1，f(16)=f(24)3=42+1，观察可见自变量取值为2n时，函数值大于或等于n2+1，即f(2n)n2+1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)(2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p：命题f(x)=x3-ax-1在区间[-1,1]上单调递减;命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R，如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围.
[解析] p为真命题f(x)=3x2-a0在[-1,1]上恒成立3x2在[-1,1]上恒成立3，
q为真命题=a2-40恒成立-2或a2.
由题意p和q有且只有一个是真命题，
p真q假3-2
p假q真3a-2或aa-2或23，
综上所述：a(-，-2][2,3).
18.(本小题满分12分)(2011广东高州市长坡中学期末)复数z=12-32i2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a，bR)的根.
(1)求a和b的值;
(2)若(a+bi)u-+u=z(uC)，求u.
[解析] (1)由题得z=-12-32i，
因为方程ax2+bx+1=0(a、bR)是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为-12+32i.
由韦达定理知：-12-32i+-12+32i=-ba-12-32i-12+32i=1a
a=1b=1.
(2)由(1)知(1+i)u-+u=-12-32i，设u=x+yi(x，yR)，则(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-12-32i，
得(2x+y)+xi=-12-32i，
2x+y=-12x=-32，x=-32y=3-12，
u=-32+23-12i.
19.(本小题满分12分)(2011山东省实验中学)已知a0，命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：设函数y=2x-2a，x2a2a，x2a，函数y1恒成立，若pq为假，pq为真，求a的取值范围.
[解析] 若p为真命题，则0
又ymin=2a，2a1，q为真命题时a12，
又∵pq为真，pq为假，p与q一真一假.
若p真q假，则0
故a的取值范围为0
20.(本小题满分12分)(2011北京学普教育中心)已知复数z1=sin2x+i，z2=m+(m-3cos2x)i，、m、xR，且z1=z2.
(1)若=0且0
(2)设=f(x)，已知当x=时，=12，试求cos43的值.
[解析] (1)∵z1=z2，
sin2x=m=m-3cos2x，
=sin2x-3cos2x，
若=0则sin2x-3cos2x=0得tan2x=3，
∵0
2x=3或2x=43，
x=6或23.
(2)∵=f(x)=sin2x-3cos2x
=212sin2x-32cos2x=2sin2x-3，
∵当x=时，=12，
2sin23=12，sin23=14，
sin3-2=-14，
∵cos43=cos226-1
=2cos226-1=2sin23-2-1，
cos43=2-142-1=-78.
21.(本小题满分12分)(2011山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1平面A1BD，D为AC中点.
(1)求证：B1C∥平面A1BD;
(2)求证：B1C1平面ABB1A1.
[解析] (1)证明：如图，连结AB1，设AB1A1B=O，则O为AB1中点，连结OD，
∵D为AC中点，
在△ACB1中，有OD∥B1C.
又∵OD平面A1BD，B1C平面A1BD，
B1C∥平面A1BD.
(2)证明：∵AB=B1B，ABC-A1B1C1为直三棱柱，ABB1A1为正方形，A1BAB1，
又∵AC1平面A1BD，A1B平面A1BD，
∵AC1A1B，
又∵AC1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，AC1AB1=A，
A1B平面AB1C1，
又∵B1C1平面AB1C1，A1BB1C1.
又∵A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，
A1AB1C1，
∵A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，A1AA1B=A1，
B1C1平面ABB1A1.
22.(本小题满分12分)(文)(2011山东省实验中学)函数f(x)=lnx+1ax-1a(a为常数，a0).
(1)若函数f(x)在区间[1，+)内单调递增，求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
[解析] f(x)=ax-1ax2 (x0).
(1)由已知得f(x)0在[1，+)上恒成立，
即a1x在[1，+)上恒成立，
又∵当x[1，+)时，1x1，
a1，即a的取值范围为[1，+).
(2)当a1时，∵f(x)0在(1,2)上恒成立，f(x)在[1,2]上为增函数，f(x)min=f(1)=0，
当0
f(x)min=f(2)=ln2-12a.
当12
f(x)min=f1a=-lna+1-1a.
综上，f(x)在[1,2]上的最小值为
①当0
②当12
③当a1时，f(x)min=0.
(理)(2011丹东四校协作体联考)设数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1an(nN*).
(1)证明：an2n+1对nN*恒成立;
(2)令bn=ann(nN*)，判断bn与bn+1的大小，并说明理由 .
[解析] (1)证法1：当n=1时，a1=21+1，不等式成立，
假设n=k时，ak2k+1成立，
当n=k+1时，a2k+1=a2k+1a2k+22k+3+1a2k2(k+1)+1.
n=k+1时，ak+12k+1+1时成立，
综上由数学归纳法可知，an2n+1对一切正整数成立.
证法2：当n=1时，a1=23=21+1，结论成立;
假设n=k时结论成立，即ak2k+1，
当n=k+1时，由函数f(x)=x+1x(x1)的单增性和归纳假设有ak+1=ak+1ak2k+1+12k+1，
因此只需证：2k+1+12k+12k+3，
而这等价于(2k+1+12k+1)22k+312k+10，
显然成立，所以当n=k+1是，结论成立;
综上由数学归纳法可知，an2n+1对一切正整数成立.
证法3：由递推公式得a2n=a2n-1+2+1a2n-1，
a2n-1=a2n-2+2+1a2n-2，a22=a21+2+1a21，
上述各式相加并化简得a2n=a21+2(n-1)+1a21++1a2n-122+2(n-1)=2n+22n+1(n2)，
又n=1时，an2n+1显然成立，故an2n+1(nN*).
(2)解法1：bn+1bn=an+1nann+1=1+1a2nnn+1
1+12n+1nn+1=2n+1n2n+1n+1
=2nn+12n+1=n+122-14n+121，
又显然bn0(nN*)，故bn+1
解法2：bn+1-bn=an+1n+1-ann
=1n+1an+1an-ann
=1annn+1[n-(n+1-n)a2n]
1annn+1[n-(n+1-n)(2n+1)](由(1)的结论)
=1nn+1n+1+nan[n(n+1+n)-(2n+1)]
=1nn+1n+1+nan[nn+1-(n+1)]
=1nn+1+nan(n-n+1)0，
所以bn+1
解法3：b2n+1-b2n=a2n+1n+1-a2nn
=1n+1a2n+1a2n+2-a2nn
=1n+12+1a2n-a2nn1n+12+12n+1-2n+1n
=1n+112n+1-1n0，
故b2n+1
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