【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：2012年高三数学下学期期中试题：理科科目希望此文能给您带来帮助。
本文题目：2012年高三数学下学期期中试题：理科科目
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.若复数 ( 为虚数单位)，则 的虚部是( ▲ )
A. B. C. D.
2.已知 则 等于( ▲ )
A. B. C. D.
3.阅读右面的程序框图，则输出的 ( ▲ )
A. B. C. D.
4.若 ，则 是的 ( ▲ )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.设 是平面上互异的四个点，若
( 则△ABC的形状是( ▲ )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.已知符号函数 ，则函数 的零点个数为( ▲ )
A. B. C. D.
7.，椭圆的中心在坐标原点 ，顶点分别是 ，焦点为 ，延长 与 交于 点，若 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ( ▲ )
A. B. C. D.
8. 含有数字 ，且有两个数字 ，则含有数字 ，
且有两个相同数字的四位数的个数为( ▲ )
A. B. C. D.
9. 已知变量 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 处取到最大值，则实数 的取值范围为( ▲ )
A. B. C. D.
10. 已知集合 ，若集合 ，且对任意的 ，存在 ，使得 (其中 )，则称集合 为集合 的一个 元基底.给出下列命题：
①若集合 ， ，则 是 的一个二元基底;
②若集合 ， ，则 是 的一个二元基底;
③若集合 是集合 的一个 元基底，则 ;
④若集合 为集合 的一个 元基底，则 的最小可能值为 .
其中是真命题的为( ▲ )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 ▲ .
12.已知一个空间几何体的三视图所示，根据图中标出的尺寸
(单位：cm)，可得这个几何体的体积为____ ▲ _cm3.
13.已知双曲线 的一个焦点在圆
上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
14.一个人随机的将编号为 的四个小球放入编号为 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，记放对的个数为随机变量 ，则 的期望
E = ▲ .
15.已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项，则 ▲ .
16.所示的几何体中，四边形 是矩形，平面 平面 ，已知 ， ，且当规定主(正)视方向垂直平面 时，该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 、 分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ▲ .
17.已知 是正整数，若关于 的方程 有整数解，则 所有可能的取值集合是 ▲ .
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)己知在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(Ⅰ)求角 大小;
(Ⅱ)当 时，求 的取值范围.
19.(本小题满分14分)设数列 的前 项和为 ，已知 为常数， )， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ，使 成立?若存在，求出所有符合条件的有序实数对 ;若不存在，说明理由.
20.(本小题满分15分)，在三棱锥 中， 为 的中点，平面 平面 ，
, .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III)若动点M在底面三角形ABC上，二面角
的余弦值为 ，求BM的最小值.
21.(本小题满分15分)设椭圆 ： 的一个顶点与抛物线 ： 的焦点重合， 分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程;若不存在，说明理由;
(III)若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，求证： 为定值.
22.(本小题满分14分)已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 .
(1)求 ;
(2)设 ， ，求函数 在 上的最大值;
(3)设 ，若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
路桥中学高三(下)第2次月考试卷
数 学(理科)参考答案
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.若复数 ( 为虚数单位)，则 的虚部是( B )
A. B. C. D.
2.已知 则 等于( D )
A. B. C. D.
3.阅读右面的程序框图，则输出的 ( A )
A. B. C. D.
4.若 ，则 是的 ( A )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.设 是平面上互异的四个点，若
( 则△ABC的形状是( B )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.已知符号函数 ，则函数 的零点个数为( C )
A. B. C. D.
7.，椭圆的中心在坐标原点 ，顶点分别是 ，焦点为 ，延长 与 交于 点，若 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ( C )
A. B. C. D.
8. 含有数字 ，且有两个数字 ，则含有数字 ，
且有两个相同数字的四位数的个数为( B )
A. B. C. D.
9. 已知变量 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 处取到最大值，则实数 的取值范围为( A )
A. B. C. D.
10. 已知集合 ，若集合 ，且对任意的 ，存在 ，使得 (其中 )，则称集合 为集合 的一个 元基底.给出下列命题：
①若集合 ， ，则 是 的一个二元基底;
②若集合 ， ，则 是 的一个二元基底;
③若集合 是集合 的一个 元基底，则 ;
④若集合 为集合 的一个 元基底，则 的最小可能值为 .
其中是真命题的为( D )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 ▲ .10
12.已知一个空间几何体的三视图所示，根据图中标出的尺寸
(单位：cm)，可得这个几何体的体积为____ ▲ _cm3.
13.已知双曲线 的一个焦点在圆
上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
14.一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数记为 ，则 的期望
E = ▲ .
15.已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项，则 ▲ .
16.所示的几何体中，四边形 是矩形，平面 平面 ，已知 ， ，且当规定主(正)视方向垂直平面 时，该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 、 分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ▲ .
17.已知 是正整数，若关于 的方程 有整数解，则 所有可能的取值集合是 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)己知在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(Ⅰ)求角 大小;
(Ⅱ)当 时，求 的取值范围.
解：(Ⅰ)由已知及余弦定理，得 因为 为锐角，所以 6分
(Ⅱ)由正弦定理，得 ，
11分
由 得
14分
19.(本小题满分14分)设数列 的前 项和为 ，已知 为常数， )， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ，使 成立?若存在，求出所有符合条件的有序实数对 ;若不存在，说明理由.
解：(Ⅰ)由题意，知 即 解之得 2分
，① 当 时， ，②
① ②得， ， 4分
又 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .7分
(Ⅱ)由⑵得， ，由 ，得
，即 ，10分
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
因为 ，所以 或 或 . 12分
当 时，由 得， ，所以 ;
当 时，由 得， ，所以 或 ;
当 时，由 得， ，所以 或 或 ，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对 为：
.14分
20.(本小题满分15分)，在三棱锥 中， 为 的中点，平面 平面 ，
, .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(III)若动点M在底面三角形ABC上，二面角
的余弦值为 ，求BM的最小值.
解：(Ⅰ)因为 为 的中点, AB=BC，所以 ,
∵平面 平面 ，平面 平面 ,
平面PAC， 5分
(Ⅱ)以 为坐标原点, 分别为 轴
建立所示空间直角坐标系，因为AB=BC=PA= ,
所以OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0),
A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
设平面PBC的法向量 ，由 得方程组
，取 ，
直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ;10分
(III)由题意平面PAC的法向量 ，
设平面PAM的法向量为
∵ 又因为
取 ，
， 或 (舍去)
B点到AM的最小值为垂直距离 .15分
21.(本小题满分15分)设椭圆 ： 的一个顶点与抛物线 ： 的焦点重合， 分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程;若不存在，说明理由;
(III)若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，求证： 为定值.
解：(I)椭圆的顶点为 ，即 ， ，解得 ，
椭圆的标准方程为 5分
(II)由题可知，直线 与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.
②设存在直线 为 ，且 ， .
由 得 ， ， ，
=
所以 ，故直线 的方程为 或 10分
(III)设 ,
由(II)可得： |MN|=
= .
由 消去y，并整理得： ，
|AB|= ， 为定值 15分
22.(本小题满分14分)已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 .
(1)求 ;
(2)设 ， ，求函数 在 上的最大值;
(3)设 ，若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
解：(1) ， ，
函数 的图像关于直线 对称，则 .2分
直线 与 轴的交点为 ， ，且 ，
即 ，且 ，解得 ， .
则 . 5分
(2) ， 7分
其图像所示.当 时， ，根据图像得：
(ⅰ)当 时， 最大值为 ;
(ⅱ)当 时， 最大值为 ;
(ⅲ)当 时， 最大值为 . 10分
(3)方法一： ， ， ，
当 时， ，
不等式 恒成立等价于 且 恒成立，
由 恒成立，得 恒成立，
当 时， ， ， ，12分
又 当 时，由 恒成立，得 ，因此，实数 的取值范围是 .14分
方法二：(数形结合法)作出函数 的图像，其图像为线段 ()，
的图像过点 时， 或 ，
要使不等式 对 恒成立，
必须 ， 12分
又 当函数 有意义时， ，
当 时，由 恒成立，得 ，
因此，实数 的取值范围是 . 14分
方法三： ， 的定义域是 ，
要使 恒有意义，必须 恒成立，
， ，即 或 . ① 12分
由 得 ，
即 对 恒成立，
令 ， 的对称轴为 ，
则有 或 或
解得 . ②
综合①、②，实数 的取值范围是 . 14分