【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下学期期中试题：数学文科题希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下学期期中试题：数学文科题
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式：锥体的体积公式 其中S为锥体的底面积， 为锥体的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
4.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
A.0.67(小时) B.0.97(小时) C.1.07(小时) D.1.57(小时)
5.已知函数 ， ，则
A. 与 均为偶函数 B. 为奇函数， 为偶函数
C. 与 均为奇函数 D. 为偶函数. 为奇函数
6.已知向量 , ，如果向量 与 垂直，则 的值为
A.1 B. C. D.
7.已知四棱锥 ，底面ABCD是边长为3的正方形， 平面ABCD，且 ，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是
A. 12 B.24 C.27 D.36
8.已知实数 满足 则 的最大值是
A. B. C. D.
9.已知函数 ，将 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着 轴向左平移 个单位，这样得到的是 的图象，那么函数 的解析式是
A. B.
C. D.
10.观察下图2，可推断出 应该填的数字是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
(一)必做题(11～13题)
11.高三某班学生每周用于数学学习的时间 (单位：小时)与数学成绩 (单位：分)之间有如下数据：
24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是 ▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为 ，截距为 ,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩
是 ▲ 分(结果保留整数).
12.已知椭圆的方程是 ( ),它的两个焦点分别为 ,且 ,弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点 ,则 的周长为 ▲
13.如果实数 满足等式 ,那么 的最大值是 ▲
( ) ▲
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为 ▲
15.(几何证明选讲选做题)3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11, ，则BD等于 ▲
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知数列 是一个等差数列，且 ， .(I)求 的通项 和前 项和 ;(II)设 ， ,证明数列 是等比数列.
17. (本题满分13分)
在 中，角 的对边分别为 ， .
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求 的值;
18.(本小题满分13分)
2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果4所示：
(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?
(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名?
(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率.
19.(本小题满分14分)
已知四棱锥 5-1所示，其三视图5-2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.
(Ⅰ)求此四棱锥的体积;
(Ⅱ)若E是PD的中点，求证： 平面PCD;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若F是 的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面.
20. (本小题满分14分)
已知圆C与两圆 ， 外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点 的距离的最小值为 ，点 与点 的距离为 .
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(Ⅱ)求满足条件 的点 的轨迹Q的方程;
(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点 ，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。若存在，请求出点B的坐标;若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分14分)
设函数 ,
(Ⅰ)若 且对任意实数均有 恒成立，求 表达式;
(Ⅱ)在(1)在条件下，当 时， 是单调函数，求实数 的取值范围;
(Ⅲ)设 且 为偶函数，证明 .
肇庆市中小学教学质量评估
2012届高中毕业班第一次模拟试题
数 学(文科)参考答案
1D解析： 在复平面内对应的点位于第四象限
2A解析： 或
3C解析： 的否定是 ， 的否定是 .
4B解析：一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，
即 (小时)。
5D解析：定义域为 ，又 ，所以选D
6D解析：B ，∵ ,
,解得 ,
7C解析：可证四个面都是直角三角形，其面积
8D解析：画图可知，四个角点分别是 ，可知
9D解析：对函数 的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把 的图象沿x轴向右平移 个单位，得到解析式 的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 倍，就得到解析式 的图象.
10B解析:由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即 ， ，所以 处该填的数字是 ，所以选B.
11解析： (3分);77(2分)
将学习时间重新排列为：24，23，20，19，17，16，16，15，13，11
可得中位数是 ;由已知得回归方程为
当x=18时， =3.5318+13.5=77.0477.故该同学预计可得77分左右.
12解析： . ∵ ,椭圆的焦点在x轴上. , .
由椭圆的定义知 的周长为 .
13解: 用数形结合法,设 ,则 表示经过原点的直线, 为直线的斜率.所以求 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值.从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切,此时的斜率就是其倾斜角EOC的正切值.易得 ,可由勾股定理求得 ,于是可得到 ,即为 的最大值.
14解析：4. 将直线与圆的方程化为直角坐标方程分别为： 和 ，显然直线过圆心，故所求的弦长即圆的直径4.
15解析:6. 由割线定理得PAPB=PCPD,5(5+7)=PC(PC+11).PC=4或PC=-15(舍去).
又∵PAPB=PCPD, ,P,△PAC∽△PDB. .
故
16解：(Ⅰ)设 的公差为 ，由已知条件， ，(2分)
解得 ， .(4分)
所以 .(6分)
.(8分)
(Ⅱ)∵ ，
(9分)
∵ (常数)
数列 是等比数列. (12分)
17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(3分)
(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有： 人，
四川籍的有： 人，(4分)
设四川籍的驾驶人员应抽取 名，依题意得 ，解得
即四川籍的应抽取2名. (7分)
(Ⅲ)(方法1)用 表示被抽取的广西籍驾驶人员， 表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件的总数为： ， ， ，
， 共21个，(9分)
其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件的总数为：
， ， ， ， 共20个。(11分)
所以，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为 (13分)
(方法2)所有基本事件的总数同方法1，
其中,2名驾驶人员都是四川籍的基本事件为： ，1个。(10分)
所以，抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率为 (11分)
所以，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为 (13分)
18解：(Ⅰ)∵ 为 的内角， ，
(2分)
(3分)
由正弦定理 得 (6分)
(Ⅱ)∵ ， , (7分)
又∵ ， , (9分)
(11分)
(13分)
19解：(Ⅰ)由题意可知，四棱锥 的底面是边长为2的正方形，其面积 ，高 ，所以 (4分)
(Ⅱ)由三视图可知， 平面 ， (5分)
∵ 是正方形， (6分)
又 ， 平面 ， 平面
平面 ， (7分)
∵ 平面 ， (8分)
又 是等腰直角三角形，E为PD的中点， (9分)
又 ， 平面 ， 平面
平面 . (10分)
(Ⅲ)∵ 分别是 的中点， 且
又∵ 且 ， 且
四边形 是梯形， (13分)
是梯形的两腰，故 与 所在的直线必相交。
所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面. (14分)
20解析：(Ⅰ)两圆半径都为1，两圆心分别为 、 ，由题意得 ，可知圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线， 的中点为 ，直线 的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段 的垂直平分线方程为 ，即圆C的圆心轨迹L的方程为 。(4分)
(Ⅱ)因为 ，所以 到直线 的距离与到点 的距离相等，故点 的轨迹Q是以 为准线，点 为焦点，顶点在原点的抛物线， ，即 ，所以，轨迹Q的方程是 (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 ， ，所以过点B的切线的斜率为 ，切线方程为 ，令 得 ，令 得 ，
因为点B在 上，所以
故 ，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
设 ，即 得 ，所以
当 时， ，当 时， ，
所以点B的坐标为 或 . (14分)
21解：(Ⅰ)∵ ， ,(1分)
由于 恒成立，即 恒成立，
当 时， ，此时， 与 恒成立矛盾。
当 时，由 ，
得 ， (3分)
从而 ， (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，其对称为
由 在 上是单调函数知：
或 ，解得 或 (8分)
(Ⅲ)∵ 是偶函数，由 得 ，
故 ，
∵ , 在 上是增函数，(9分)
对于 ，当 时， ，
当 时， ，
是奇函数，且 在 上为增函数. (11分)
∵ ， 异号，
(1)当 时，由 得 ，
(2)当 时，由 得 ，
即
综上可知 (14分)