【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下学期期中试题：理科试题希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下学期期中试题：理科试题
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相 应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 函数 的最小正周期是 .
2. 二项式 的展开式中的常数项是 .(请用数值作答)
3. 函数 的定义域是 .
4. 设 与 是两个不共线的向量，已知 ， ， ，则当 三点共线时， .
5. 已知各项均为正数的无穷等比数列 中， ， ，则此数列的各项和 .
6. 已知直线 的方程为 ，点 与点 关于直线 对称，则点 的坐标为 .
7. ，该框图所对应的程序运行后输出的结果 的值为 .
8. 若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点的坐标为 ，则该双曲线的标准方程为 .
9. ，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm，上下留空各2.5cm，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm2.
10. 给出问题：已知 满足 ，试判定 的形状.某学生的解答如下：
解：(i)由余弦定理可得，
，
，
,
故 是直角三角形.
(ii)设 外接圆半径为 .由正弦定理可得，原式等价于
，
故 是等腰三角形.
综上可知， 是等腰直角三角形.
请问：该学生的解答是否正确?若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法;若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. .
11. 已知数列 是等比数列，其前 项和为 .若 ， ，则 .
12. 若一个底面边长为 ，侧棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 .
13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为 的 个小正方形(如右图)，需满足任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 、 、 的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足1、3、5、7、9为同一颜色，2、4、6、8为同一颜色的概率为 .
14. 设 ， 表示关于 的不等式 的正整数解的个数，则数列 的通项公式 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内)，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15. 成等差数列是 成立的 ( )
A.充分非必要条件; B.必要非充分条件;
C.充要条件; D.既非充分 也非必要条件.
16. 设 是直线 的倾斜角，且 ，则 的值为 ( )
A. ; B. ; C. ; D. .
17. 设全集为 ，集合 ， ，
则集合 可表示为 ( )
A. ; B. ; C. ; D.
18. 对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ,下列命题中真命题是( )
A.若 ，则 ;
B. 若 则 ;
C. 若 ，则 ;
D. 若 则 .
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19. (本题满分12分)已知 函数 ， 的图像分别与 轴、 轴交于 、 两点，且 ，函数 . 当 满足不等式 时，求函数 的最小值.
20. (本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分)
,已知圆锥体 的侧面积为 ，底面半径 和 互相垂直，且 ， 是母线 的中点.
(1) 求圆锥体的体积;
(2)异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数表示).
21. (本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
已知 中， ， .设 ，记 .
(1) 求 的解析式及定义域;
(2)设 ，是否存在实数 ，使函数 的值域为 ?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
22. (本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分)
已知数列 是首项为 的等比数列，且满足 .
(1) 求常数 的值和数列 的通项公式;
(2) 若抽去数列 中的第一项、第四项、第七项、、第 项、，余下的项按 原来的顺序组成一个新的数列 ，试写出数列 的通项公式;
(3) 在(2)的条件下，设数列 的前 项和为 .是否存在正整数 ，使得 ?若存在，试求所有满足条件的正整数 的值;若不存在，请说明理由.
23. (本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分)
设点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的 个不同的点( ).
(1) 当 时，试写出抛物线 上的三个定点 、 、 的坐标，从而使得
;
(2)当 时，若 ，
求证： ;
(3) 当 时，某同学对(2)的逆命题，即：
若 ，则 .
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数 ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
高三数学下学期期中试题：理科试题参考答案
一、填空题(每小题4分，满分56分)：
1. ; 2. ; 3. (文) ; (理) ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ;
10. 等腰或直角三角形; 11. (文) ;(理) ; 12. (文) ;(理) ;
13. (文) ;(理) ; 14. .
二、选择题(每题5分，满分20分)：
题号 15 16 17 18
答案 A B D D
三、解答题(满分74分)：
19.(本题满分12分)
解：由题意知： 、 ，则
可解得： ，即
因为 ，即 ，解不等式得到
因为 ，则 所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
所以，当 时， 的最小值为 .
20.(本题满分12分)
解：(1)由题意， 得 ，
故
从而体积 .
(2)2，取 中点 ，联结 .
由 是 的中点知 ，则 (或其补角)就是异面直线 与 所成角.
由 平面 平面 .
在 中，由 得 ;
在 中， ， ， ，
则 ，所以异面直线 与 所成角的大小 .
21. (本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分)
解：(1)，在 中，由 ， ，
可得 ，
又 ，故由正弦定理得
、 .
则函数
，
其中定义域为 .
说明：亦可用积化和差方法化简：
.
(2)
由 可得 .显然， ，则
1 当 时， ，则 的值域为 ;
2 当 时， ，不满足 的值域为 ;
因而存在实数 ，使函数 的值域为 .
22. (本大题满分16分，第1小题满分 5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分)
(1)解：由 得 ， ，
又因为存在常数 ，使得数列 为等比数列，
则 即 ，所以 .
故数列 为首项是2，公比为2的等比数列，即 .
此时 也满足，则所求常数 的值为1且 .
(2)解：由等比数列的性质得：
(i)当 时， ;
(ii) 当 时， ，
所以 .
(3)(文科)解：注意到 是首项 、公比 的等比数列， 是首项 、公比 的等比数列，则
(i)当 时，
;
(ii)当 时，
.
即 .
(3)(理科)解：(续文科解答过程)
假设存在正整数 满足条件，则 ，
则(i)当 时，
，
即当 时满足条件;
(ii)当 时，
.
因为 ，所以此时无满足条件的正整数 .
综上可得，当且仅当 时， .
23. (本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分)
(理)解：(1)抛物线 的焦点为 ，设 ，
分别过 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 .
由抛物线定义得
因为 ，所以 ，
故可取 满足条件.
(2)设 ，分别过 作抛物线 的准线 垂线，垂足分别为 .
由抛物线定义得
又因为
;
所以 .
(3) ①取 时，抛物线 的焦点为 ，
设 ， 分别过 作抛物线 的准线 垂线，垂足分别为 .由抛物线定义得
，
则 ，不妨取 ; ; ; ，
则 ，
.
故 ， ， ， 是一个当 时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设 ，分别过 作
抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为 ，
由 及抛物线的定义得
，即 .
因为上述表达式与点 的纵坐标无关，所以只要将这 点都取在 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则
，
而 ，所以 .
(说明：本质上只需构造满足条件且 的一组 个不同的点，均为反例.)
③ 补充 条件1：点 的纵坐标 ( )满足 ，即：
当 时，若 ，且点 的纵坐标 ( )满足 ，则 .此命题为真.
事实上，设 ，
分别过 作抛物线 准线 的垂线，垂足分别为 ，由 ，
及抛物线的定义得 ，即 ，则
，
又由 ，所以 ，故命题为真.
补充条件2：点 与点 为偶数， 关于 轴对称，即：
当 时，若 ，且点 与点 为偶数， 关于 轴对称，则 .此命题为真.(证略)
23.(文)(1)解：抛物线 焦点 ，准线 方程为： .由抛物线定义得
， ， ，
.
(2)证明：由 ， ， ，， ，
，
即 .
则
.
(3)经推广的命题：
当 时，若 ，则 .
其逆命题为：
当 时，若 ，则 .
该逆命题为假命题.
不妨构造特殊化的一个反例：
设 ， ，抛物线 ，焦点 .由题意知：
;
根据抛物线的定义得：
;
不妨取四点坐标分别为 、 、 、 ，但
，
所以逆命题是假命题.