【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学期中考试题：理科希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学期中考试题：理科
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ， ，其中 .若 ，则 的取值范围是( )
2.执行所示的程序框图，若输入如下四个函数：
则输出函数的序号为( )
3.椭圆 是参数 的离心率是( )
4.已知向量 ， ，其中 .则 是 的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
5.右图是 ， 两组各 名同学体重(单位： )
数据的茎叶图.设 ， 两组数据的平均数依次
为 和 ，标准差依次为 和 ，那么( )
(注：标准差 ，其中 为 的平均数)
6.已知函数 ，其中实数 随机选自区间 .对 ， 的概率是( )
7.某大楼共有 层，有 人在第 层上了电梯，他们分别要去第 至第 层，每层 人.因
特殊原因，电梯只允许停 次，只可使 人如愿到达，其余 人都要步行到达所去的楼层.假设这 位乘客的初始不满意度均为 ，乘客每向下步行 层的不满意度增量为 ，每向上步行 层的不满意度增量为 ， 人的不满意度之和记为 ，则 的最小值是( )
8.对数列 ，如果 及 ，使
成立，其中 ，则称 为 阶递归数列.给出下列三个结论：
① 若 是等比数列，则 为 阶递归数列;
② 若 是等差数列，则 为 阶递归数列;
③ 若数列 的通项公式为 ，则 为 阶递归数列.
其中，正确结论的个数是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.在△ 中， ， ， ，则 _____.
10.已知复数 满足 ，则 _____.
11.，△ 是⊙ 的内接三角形， 是⊙ 的切
线， 交 于点 ，交⊙ 于点 .若 ，
， ， ，则 _____;
_____.
12.已知函数 是 上的偶函数，则实数 _____;不等式 的解集为_____.
13.一个几何体的三视图所示，其中正视图和侧视图
是腰长为 的两个全等的等腰直角三角形，该几何体
的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面
上，则球的表面积是_____.
14.曲线 是平面内到定点 和定直线 的距离之和等于 的点的轨迹，给出
下列三个结论：
① 曲线 关于 轴对称;
② 若点 在曲线 上，则 ;
③ 若点 在曲线 上，则 .
其中，所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
16.(本小题满分14分)
，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直. ∥ ， ， ， .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ?若存在，求出 ;若不存在，说明理由.
17.(本小题满分13分)
甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 道题.规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题(不答视为答错)减 分，至少得 分才能入选.
(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
18.(本小题满分13分)
已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点.
(Ⅰ)若 ，求直线 的斜率;
(Ⅱ)设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值.
19.(本小题满分14分)
已知函数 ，其中 .
(Ⅰ)当 时，求曲线 在原点处的切线方程;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)若 在 上存在最大值和最小值，求 的取值范围.
20.(本小题满分13分)
若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列.对于 ，将排列 记为 ;将排列 记为 ;依此类推，直至 .
对于排列 和 ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做 和 的相关值，记作 .例如 ，则 ， .
若 ，则称 为最佳排列.
(Ⅰ)写出所有的最佳排列 ;
(Ⅱ)证明：不存在最佳排列 ;
(Ⅲ)若某个 是正整数 为最佳排列，求排列 中 的个数.
北京市西城区2012年高三二模试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D; 2.D; 3.B; 4.A; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. ; 10. ; 11. ， ;
12. ， 13. ， ; 14.① ② ③.
注：11、12、13第一问2分，第二问3分;14题少填不给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解： . 5分
(Ⅱ)解： 7分
8分
. 9分
因为 ，所以 ， 10分
所以当 ，即 时， 取得最大值 . 11分
所以 ， 等价于 .
故当 ， 时， 的取值范围是 . 13分
16.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明：取 中点 ，连结 ， .
因为 ，所以 . 1分
因为四边形 为直角梯形， ， ，
所以四边形 为正方形，所以 . 2分
所以 平面 . 3分
所以 . 4分
(Ⅱ)解：因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，所以 .
由 两两垂直，建立所示的空间直角坐标系 . 5分
因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，所以 .
所以 ，平面 的一个法向量为 . 7分
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 9分
(Ⅲ)解：存在点 ，且 时，有 // 平面 . 10分
证明如下：由 ， ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则有
所以 取 ，得 . 12分
因为 ，且 平面 ，所以 // 平面 .
即点 满足 时，有 // 平面 . 14分
17.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解：设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 .1分
; ;
; . 5分
乙得分的分布列如下：
6分
. 7分
(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .
则 ， 10分
. 11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率 . 13分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解：依题意 ，设直线 方程为 . 1分
将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 . 3分
设 ， ，所以 ， . ① 4分
因为 ，
所以 . ② 5分
联立①和②，消去 ，得 . 6分
所以直线 的斜率是 . 7分
(Ⅱ)解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，
所以四边形 的面积等于 . 9分
因为 10分
， 12分
所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 . 13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解：当 时， ， . 2分
由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 .3分
(Ⅱ)解： . 4分
① 当 时， .
所以 在 单调递增，在 单调递减. 5分
当 ， .
② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：
故 的单调减区间是 ， ;单调增区间是 . 7分
③ 当 时， 与 的情况如下：
所以 的单调增区间是 ;单调减区间是 ， .
9分
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得， 时不合题意. 10分
当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 .
设 为 的零点，易知 ，且 .从而 时， ; 时， .
若 在 上存在最小值，必有 ，解得 .
所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .
12分
当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 上存在最小值 .
若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 .
所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .
综上， 的取值范围是 . 14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解：最佳排列 为 ， ， ， ， ， . 3分
(Ⅱ)证明：设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ， ， ， 之中有 个 ， 个 .
按 的顺序研究数码变化，由上述分析可知有 次数码不发生改变，有 次数码发生了改变.
但是 经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在 ，使得 ，
从而不存在最佳排列 . 7分
(Ⅲ)解：由 或 ，得
，
，
，
.
因为 ，
所以 与每个 有 个对应位置数码相同，有 个对应位置数码不
同，因此有
，
，
，
，
.
以上各式求和得， . 10分
另一方面， 还可以这样求和：设 中有 个 ， 个 ，则 .
11分
所以 解得 或
所以排列 中 的个数是 或 . 13分