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本文题目：理科高三数学教案：导数及其应用

第三章 导数及其应用

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考试要求 重难点击 命题展望

1.导数概念及其几何意义

(1)了解导数概念的实际背景;

(2)理解导数的几何意义.

2.导数的运算

(1)能根据导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;

(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

3.导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

4.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

5.定积分与微积分基本定理

(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念;

(2)了解微积分基本定理的含义. 本章重点：

1.导数的概念;

2.利用导数求切线的斜率;

3.利用导数判断函数单调性或求单调区间;

4.利用导数求极值或最值;

5.利用导数求实际问题最优解.

本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答 题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.

知识网络

3 .1 导数的概念与运算

典例精析

题型一 导数 的概念

【例1】 已知函数f(x)=2ln 3x+8x，

求 f(1-2x)-f(1)x的值.

【解析】由导数的定义知：

f(1-2x)-f(1)x=-2 f(1-2x)-f(1)-2x=-2f(1)=-20.

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当x0时， 平均变化率yx的极限.

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为()

A.15 mm/min B.14 mm/min

C.12 mm/min D.1 mm/min

【解析】选A.

题型二 求导函数

【例2】 求下列函数的导数.

(1)y=ln(x+1+x2);

(2)y=(x2-2x+3)e2x;

(3)y=3x1-x.

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.

(1)y=1x+1+x2(x+1+x2)

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.

(2)y=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x

=2(x2-x+2)e2x.

(3)y=13(x1-x 1-x+x(1-x)2

=13(x1-x 1(1-x)2

=13x (1-x)

【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))= ; f(1+x)-f(1)x= (用数字作答).

【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，

由导数定义 f(1+x)-f(1)x=f(1).

当02时，f(x)=4-2x，f(x)=-2，f(1)=-2.

题型三 利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C：y=x3-3x2+2x， 直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.

【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，

所以 y0x0=x20-3x0+2.

而y=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.

又 k=y0x0，

所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x00，

解得x0=32.

所以y0=-38，所以k=y0x0=-14，

所以直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线经过点(-2，2)，求此切线方程.

【解析】设切点为P(x0，y0)，则由

y=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.

所以函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为

y-y0=(3x20-3)(x-x0).

又切线经过点(-2,2)，得

2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①

而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4， ②

由①②解得x0=1或x0=-2.

则切线方程为y=2 或 9x-y+20=0.

总结提高

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：

(1) 导数的定义，即求 yx= f(x0+x)-f(x0)x的值;

(2)先求导函数f(x)，再将x=x0的值代入，即得f(x0)的值.

2.求y=f(x)的导函数的几种方法：

(1)利用常见函数的导数公式;

(2)利用四则运算的导数公式;

(3)利用复合函数的求导方法.

3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)，就是函数y=f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.

3.2 导数的应用(一)

典例精析

题型一 求函数f(x)的单调区间

【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.

【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+).

f(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，

①若a0，则a+221，f(x)=2x(x-a+22)x-10在(1，+)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，+).

②若a0，则a+221，

故当x(1，a+22]时，f(x)=2x(x-a+22)x-1

当x[a+22，+)时，f(x)=2x(x-a+22)x-10，

所以a0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+).

【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.

【解析】因为f(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，

所以2x+1x-a0在(0,1)上恒成立，

即a2x+1x恒成立.

又2x+1x22(当且仅当x=22时，取等号).

所以a22，

故a的取值范围为(-，22].

【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二 求函数的极值

【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.

(1)试求常数a，b，c的值;

(2)试判断x=1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.

【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c.

因为x=1是函数f(x)的极值点，

所以x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.

由根与系数的关系，得

又f(1)=-1，所以a+b+c=-1. ③

由①②③解得a=12，b=0，c=-32.

(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，

所以当f(x)=32x2-320时，有x-1或x

当f(x)=32x2-320时，有-1

所以函数f(x)=12x3-32x在(-，-1)和(1，+)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.

所以当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.

【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f(x)=0.但是， 当x0满足f(x0)=0时， f(x)在点x=x0处却未必取得极 值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;如果f(x)在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.

【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f(x)0，若x13，则有()

A. f(x1)f(x2)

C. f(x1)=f(x2) D.不确定

【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，所以函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f(x)0，所以当x32时，函数f(x)单调递减，当x32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x23，所以x1+x2232，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)f(x2).故选B.

题型三 求函数的最值

【例3】 求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【解析】f(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.

又由f(x)=11+x-12x0，且x[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-10，f(1)f(2)，所以，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.

【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.

【变式训练3】(2008江苏)f(x)=ax3-3x+1对x[-1,1]总有f(x)0成立，则a= .

【解析】若x=0，则无论a为 何值，f(x)0恒成立.

当x(0,1]时，f(x)0可以化为a3x2-1x3，

设g(x)=3x2-1x3，则g(x)=3(1-2x)x4，

x(0，12)时，g(x)0，x(12，1]时，g(x)0.

因此g(x)max=g(12)=4，所以a4.

当x[-1,0)时，f(x)0可以化为

a3x2-1x3，此时g(x)=3(1-2x)x40，

g(x)min=g(-1)=4，所以a4.

综上可知，a=4.

总结提高

1.求函数单调区间的步骤是：

(1)确定函数f(x)的定义域D;

(2)求导数f

(3)根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间;根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.

2.求函数极值的步骤是：

(1)求导数f

(2)求方程f(x)=0的根;

(3)判断f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.

3.求函数最值的步骤是：

先求f(x)在(a，b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

3.3 导数的应用(二)

典例精析

题型一 利用导数证明不等式

【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域;

(2)求证：x1时，f(x)23x3.

【解析】(1)由已知f(x)=x+1x，

当x[1，e]时，f(x)0，因此f(x)在 [1，e]上为增函数.

故f(x)max=f(e)=e22+1，f(x)min=f(1)=12，

因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22+1].

(2)证明：令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x，则F(x)=x+1x-2x2=(1-x)(1+x+2x2)x，

因为x1，所以F(x)0，

故F(x)在(1，+)上为减函数.

又F(1)=-160，

故x1时，F(x)0恒成立，

即f(x)23x3.

【点拨】有关超越性不等式的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.

【变式训练1】已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()

A.f(x)0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0

C.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0

【解析】选B.

题型二 优化问题

【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式;

(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?

【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，

即n=mx-1.

所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x

=256(mx-1)+mx(2+x)x

=256mx+mx+2m-256.

(2)由(1)知f(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).

令f(x)=0，得x =512.所以x=64.

当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.

所以f(x)在x=64处取得最小值.

此时n=mx-1=64064-1=9.

故需新建9个桥墩才能使y最小.

【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).

【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，

则由已知可得4(4r+2h)=9.6，所以2r+h=1.2.

S=2.4r2，h=1.2-2r0，所以r0.6.

所以S=2.4r2(0

令f(r)=2.4r2，则f(r)=2 .4r.

令f(r)=0得r=0.4.所以当00;

当0.4

所以r=0.4时S最大，Smax=1.51.

题型三 导数与函数零点问题

【例3】 设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，xR.

(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;

(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且.若对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f(x)=x2-6x+5.

因为f(2)=23，f(2)=-3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，

则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.

(2)f(x)=x2-2mx+(m2-4).

令f(x)=0，得x=m-2或x=m+2.

当x(-，m-2)时，f(x)0，f(x)在(-，m-2)上是增函数;

当x(m-2，m+2)时，f(x)0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;

当x(m+2，+)时，f(x)0，f(x)在(m+2，+)上是增函数.

因为函数f(x)有三个互不 相同的零点0，，，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，

所以

解得m(-4，-2)(-2,2)(2,4).

当m(-4，-2)时，m-2

所以

此时f()=0，f(1)f(0)=0，与题意不合，故舍去.

当m(-2,2)时，m-20

所以

因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，

所以1.

所以f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.

因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，

所以m+2=1，即m=-1.

当m(2,4)时，0

所以0

因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，

所以1.

所以f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.

因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，

所以m+2=1，即m=-1(舍去).

综上可知，m的取值范围是{-1}.

【变式训练3】已知f(x)=ax2(aR)，g(x)=2ln x.

(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;

(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围.

【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(1a，+)，递 减区间为(0，1a);

当a0时，F(x)的递减区间为(0，+).

(2)[12ln 2，1e).

总结提高

在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.

3.4 定积分与微积分基本定理

典例精析

题型一 求常见函数的定积分

【例1】 计算下列定积分的值.

(1) (x-1)5dx;

(2) (x+sin x)dx.

【解析】(1)因为[16(x-1)6]=(x-1)5，

所以 (x-1)5dx= =16.

(2)因为(x22-cos x)=x+sin x，

所以 (x+sin x)dx= =28+1.

【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;

(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;

(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：

①若f(x)是偶函数 时，则 f(x)dx=2 f(x)dx;

②若f(x)是奇函数时，则 f(x)dx=0.

【变式训练1】求 (3x3+4sin x)dx.

【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线 y=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方 的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.

又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)

=-(3x3+4sin x)=-f(x).

所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，

所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，

所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.

题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积

【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.

【解析】方法一：如图，

由

得交点A(2,2)，B(8，-4)，

则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx

= +

=163+383=18.

方法二：S= [(4-y)-y22]dy

= =18.

【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.

【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.

【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k=4.由 得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.

所以阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.

题型三 定积分在物理中的应用

【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0=1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;

(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.

【解析】(1)当01时，v(t)0，当12时，v(t)0，所以前2秒内所走过的路程为

s= v(t)dt+ (-v(t))dt

= (1-t2)dt+ (t2-1)dt

= + =2.

2秒末所在的位置为

x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.

所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.

(2) 物体的速度为v=(bt3)=3bt2.

媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k0.

当x=0时，t=0;

当x=a时，t=t1=(ab) ，

又ds=vdt，故阻力所做的功为

W阻= ds = kv2vdt=k v3dt

= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.

【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.

【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y(0，+).令函数f(x)=F[1，log2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.

【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，所以f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x)=2x-4.

所以 解得B(3,6)，

所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.

总结提高

1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?

2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?

3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?

(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?

(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;?

(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?

(4)计算定积分，写出答案.