教学目标：
1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．
2．会求一些简单函数的反函数．
3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．
4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．
教学重点：求反函数的方法．
教学难点：反函数的概念．
教学过程：
教学活动 | 设计意图 | ||||||||
一、创设情境，引入新课 1．复习提问 ①函数的概念 ②y=f(x)中各变量的意义 2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t= 3．板书课题 | 由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标．这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性． | ||||||||
| 二、实例分析，组织探究 1．问题组一： （用投影给出函数 （1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答： （2）由 （3） （4） 2．问题组二： （1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？ （2）函数 （3）函数 3．渗透反函数的概念． （教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点） | 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力． 通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近发展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础． | ||||||||
| 三、师生互动，归纳定义 1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义） 函数y=f(x)(xA) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) ．如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数．这样的函数 x = j (y)(y C)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数.记作: 2．引导分析 1）反函数也是函数； 2）对应法则为互逆运算； 3）定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数； 4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数 5）函数y=f(x)与x=f 6）要理解好符号f 3．两次转换x、y的对应关系 4．函数与其反函数的关系
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1．（投影例题）
【例1】求下列函数的反函数
（1）y=3x-1 (2)y=x+1
【例2】求函数的反函数．
（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）
2．总结求函数反函数的步骤
1 由y=f(x)反解出x=f(y)．
2 把x=f(y)中 x与y互换得.
3 写出反函数的定义域.
（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）
【例3】（1）有没有反函数?（2）的反函数是________．（3）(x0)的反函数是__________．
在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握． 通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解．通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．
题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进．并体现了对定义的反思理解．学生思考练习，师生共同分析纠正．
五、巩固强化，评价反馈
1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f( x)（1）y=-2x+3(xR) （2）y=-(xR,且x) ( 3 ) y=(xR,且x)
2．已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值．五、反思小结，再度设疑本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．
进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数．反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度．具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性．
问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂