集合(简称集)是数学中一个基本概念，以下是查字典大学网整理的

集合与常用逻辑用语专题练习，希望对考生复习数学有帮助。

一、选择题

1.(文)(2014·新课标理，1)已知集合A={x|x2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x<2}，则A∩B=( )

A.[-2，-1] B.[-1,2)

C.[-1,1] D.[1,2)

[答案] A

[解析] A={x|x≤-1或x≥3}，所以A∩B=[-2，-1]，所以选A.

(理)(2014·甘肃三诊)若A={x|2<2x<16，xZ}，B={x|x2-2x-3<0}，则A∩B中元素个数为( )

A.0 B.1

C.2 D.3

[答案] B

[解析] A={2,3}，B={x|-10，总有(x+1)ex>1，则¬p为( )

A.x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1

B.x0>0，使得(x0+1)ex0≤1

C.x>0，总有(x+1)ex≤1

D.x≤0，总有(x+1)ex≤1

[答案] B

[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.

(理)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )

A.若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数

B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

[分析] 根据四种命题的关系判定.

[答案] B

[解析] “若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.

3.(2015·天津理，1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A∩(UB)=( )

A.{2,5} B.{3,6}

C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}

[答案] A

[解析] UB={2,5,8}，所以A∩(UB)={2,5}，故选A.

4.(文)已知集合A={(x，y)|y=2x，xR}，B={(x，y)|y=2x，xR}，则A∩B的元素数目为( )

A.0 B.1

C.2 D.无穷多

[答案] C

[解析] 函数y=2x与y=2x的图象的交点有2个，故选C.

(理)设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3-2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )

A.{x|}

={x|b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )

A.4 B.2

C.1 D.0

[答案] B

[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2=0时，ac2>bc2是不成立的.

[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立;ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.

[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假.

[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题.命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论.

常见命题的否定形式有：

原语句 是 都是 >至少有

一个 至多有

一个 x∈A使

p(x)真 x0∈m，

p(x0)成立 否定

形式 不是 不都是 ≤ 一个也

没有 至少有

两个 x0∈A

使p(x0)假 x∈M，p(x)不成立原语句 p或q p且q 否定形式 ¬p且¬q ¬p或¬q 2.要注意掌握不同类型命题的否定形式，

(1)简单命题“若A则B”的否定.

(2)含逻辑联结词的复合命题的否定.

(3)含量词的命题的否定.

3.解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论.

(理)有下列四个命题：

(1)若“xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题;

(2)“面积相等的三角形全等”的否命题;

(3)“若m≤1，则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;

(4)“若A∩B=B，则AB”的逆否命题.

其中真命题为( )

A.(1)(2) B.(2)(3)

C.(4) D.(1)(2)(3)

[答案] D

[解析] (1)的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题;(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;(3)的逆否命题：“若x2-2x+m=0没有实数解，则m>1”是真命题;命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.如A={1,2,3,4,5}，B={4,5}，显然AB是错误的，故选D.

7.(文)(2014·新课标文，3)函数f(x)在x=x0处导数存在，若p：f′(x0)=0;q：x=x0是f(x)的极值点，则( )

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

[答案] C

[解析] x=x0是f(x)的极值点，f′(x)=0，即qp，而由f′(x0)=0，不一定得到x0是极值点，故p/ q，故选C.

(理)已知：p：|x-3|≤2，q：(x-m+1)·(x-m-1)≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为( )

A.[2,4]

B.(-∞，4)(2，+∞)

C.[1,5]

D.(-∞，0)(6，+∞)

[答案] A

[解析] 由|x-3|≤2得，1≤x≤5;

由(x-m+1)·(x-m-1)≤0得，m-1≤x≤m+1.

¬p是¬q的充分不必要条件，

q是p的充分不必要条件，

∴2≤m≤4.

[方法点拨] 1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.

2.要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么¬p是¬q的必要不充分条件.同理，如果p是q的必要不充分条件，那么¬p是¬q的充分不必要条件;如果p是q的充要条件，那么¬p是¬q的充要条件.

3.命题p与q的真假都与m的取值范围有关，使命题p成立的m的取值范围是A，使命题q成立的m的取值范围是B，则“pq”⇔“A⊆B”.

8.(2015·安徽理，3)设p：11，则p是q成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 考查指数运算与充要条件的概念.

由q：2x>20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.

9.(文)(2015·青岛市质检)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )

A.若mα，nβ，mn，则αβ

B.若mα，nβ，mn，则αβ

C.若mα，nβ，mn，则αβ

D.若mα，nβ，mn，则αβ

[答案] C

10.(文)已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，定义集合A×B={(x，y)|xA，yB}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxyN}的元素个数是( )

A.3 B.4

C.8 D.9

[答案] B

[解析] 用列举法求解.由给出的定义得A×B={(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}.其中log22=1，log24=2，log28=3，log44=1，因此，一共有4个元素，故选B.

(理)设S是实数集R的非空子集，如果a、bS，有a+bS，a-bS，则称S是一个“和谐集”.下面命题中假命题是( )

A.存在有限集S，S是一个“和谐集”

B.对任意无理数a，集合{x|x=ka，kZ}都是“和谐集”

C.若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠

D.对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1S2=R

[答案] D

[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可.

[解析] 对于A，如S={0}，显然该集合满足：0+0=0S,0-0=0S，因此A正确;对于B，设任意x1{x|x=ka，kZ}，x2{x|x=ka，kZ}，则存在k1Z，k2Z，使得x1=k1a，x2=k2a，x1+x2=(k1+k2)a{x|x=ka，kZ}，x1-x2=(k1-k2)·a{x|x=ka，kZ}，因此对任意无理数a，集合{x|x=ka，kZ}都是“和谐集”，B正确;对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若aS1，则有a-aS1，即0S1，同理0S2，此时S1∩S2≠，C正确;对于D，如取S1={0}≠R，S2={x|x=k，kZ}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1S2≠R，D不正确.

[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质.

11.(文)(2015·陕西理，6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 充分性：sin α=cos αcos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=0，所以充分性成立;必要性：cos 2α=0(cos α+sin α)(cos α-sin α)=0sin α=±cos α，必要性不成立;所以是充分不必要条件.故本题正确答案为A.

(理)(2015·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga33b>3，则a>b>1，从而有loga3b>1，比如a=，b=3，从而3a>3b>3不成立.故选B.

12.(文)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故选A.

(理)已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )

A.a≥1 B.a≤1

C.a≥-1 D.a≤-3

[答案] A

[解析] 条件p：x>1或x<-3，所以¬p：-3≤x≤1;

条件q：x>a，所以¬q：x≤a，

由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.

13.(文)(2014·重庆理，6)已知命题

p：对任意xR，总有2x>0;

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，

则下列命题为真命题的是( )

A.p∧q B.(¬p)(¬q)

C.(¬p)q D.p(¬q)

[答案] D

[解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确.判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断.

(理)已知命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“x∈R，x2+1≤1”;命题q：在ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )

A.p且q B.p或¬q

C.¬p且¬q D.p或q

[答案] D

[解析] p为假命题，q为真命题，p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题.

14.(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A.真，假，真 B.假，假，真

C.真，真，假 D.假，假，假

[答案] B

[解析] 若z1=a+bi，则z2=a-bi.

|z1|=|z2|，故原命题正确、逆否命题正确.

其逆命题为：若|z1|=|z2|，则z1、z2互为共轭复数，

若z1=a+bi，z2=-a+bi，则|z1|=|z2|，而z1、z2不为共轭复数.

逆命题为假，否命题也为假.

15.(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b=0，b·c=0，则a·c=0;命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是( )

A.p∨q B.pq

C.(¬p)(¬q) D.p(¬q)

[答案] A

[解析] 取a=c=(1,0)，b=(0,1)知，a·b=0，b·c=0，但a·c≠0，∴命题p为假命题;

a∥b，bc，λ，μR，使a=λb，b=μc，

a=λμc，a∥c，命题q是真命题.

p∨q为真命题.

(理)已知命题p：“x∈R，x2+2ax+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( )

A.(0,1) B.(0,2)

C.(2,3) D.(2,4)

[答案] A

[解析] 由p为假命题知，x∈R，x2+2ax+a>0恒成立，Δ=4a2-4a<0，00的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )

A.-2≤a≤2 B.-1≤a≤1

C.-2≤a≤1 D.1≤a≤2

[答案] C

[解析] 因为(x-a)(x+1-a)>0，所以>0，即asinB，则A>B”的逆命题是真命题;命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件;“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是“x∈R，x3-x2+1>0”;若随机变量x～B(n，p)，则D(X)=np.回归分析中，回归方程可以是非线性方程.

A.1 B.2

C.3 D.4

[答案] C

[解析] 在ABC中，A>Ba>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为ABC外接圆半径).为真命题;x=2且y=3时，x+y=5成立，x+y=5时，x=2且y=3不成立，“x+y=5”是“x=2且y=3”的必要不充分条件，从而“x≠2或y≠3”是“x+y≠5”的必要不充分条件，为真命题;

全称命题的否定是特称命题，

为假命题;

由二项分布的方差知为假命题.

显然为真命题，故选C.

二、填空题

17.(文)设p：关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0}，q：函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是________.

[答案] (0，][1，+∞)

[解析] p真时，00对xR恒成立，则即a>.若pq为真，pq为假，则p、q应一真一假：当p真q假时，03”的否定是“x∈R,2x≤3”;

函数y=sin(2x+)sin(-2x)的最小正周期是π;

命题“函数f(x)在x=x0处有极值，则f′(x0)=0”的否命题是真命题;

f(x)是(-∞，0)(0，+∞)上的奇函数，x>0时的解析式是f(x)=2x，则x<0时的解析式为f(x)=-2-x.

其中正确的说法是________.

[答案]

[解析] 对，特称(存在性)命题的否定为全称命题;错，因为化简已知函数得y=sin(2x+)sin(-2x)=sin(2x+)·sin[-(2x+)]=sin(2x+)cos(2x+)=sin(4x+)，故其周期应为=;错，因为原命题的逆命题“若f′(x0)=0，则函数f(x)在x=x0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题;对，设x<0 -x="">0，故有f(-x)=2-x=-f(x)，解得f(x)=-2-x.综上可知只有命题正确.

[易错分析] 命题真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f(x)=x3等函数.

(理)(2015·山东临沂二模)给出下列四个结论：

“若am20且a≠0)的图象必过点(0,1);

已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)=0.2.

其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号).

[答案]

[解析] 错，因为逆命题为“若a4却不满足x≥2或y≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断);当x=0时，y=loga1+1=1，所以恒过定点(0,1)(也可由y=logax的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以正确;根据正态分布的对称性可知P(-2≤ξ≤0)=P(0≤ξ≤2)，P(ξ>2)=P(ξ<-2 p="">2)===0.1，所以错误，综上正确的结论有.

[易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.

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