从某种角度看数学属于形式科学的一种,下面是2016届江苏省高三数学复习中档题满分练习,请考生及时练习。
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(a,c),n=(cos C,cos A).
(1)若m∥n,c=a,求角A;
(2)若mn=3bsin B,cos A=,求cos C的值.
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点.
(1)求证:BF∥平面A1EC;
(2)求证:平面A1EC平面ACC1A1.
3.若两个椭圆的离心率相等,则称它们为相似椭圆.如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQx轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
4.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,变化时,求的最小值.
中档题满分练(一)
1.解 (1)∵m∥n,acos A=ccos C.
由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C,
化简得sin 2A=sin 2C.
∵A,C(0,),2A=2C(舍)或2A+2C=,
A+C=,B=,
在Rt△ABC中,tan A==,故A=.
(2)∵mn=3bcos B,acos C+ccos A=3bsin B.
由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B,
从而sin(A+C)=3sin2B.
∵A+B+C=,sin(A+C)=sin B,从而sin B=,
∵cos A=0,A(0,),
A,sin A=.
∵sin Asin B,ab,从而AB,B为锐角,
cos B=.
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B
=-+=.
2.证明 (1)连接AC1并交A1C于点O,连接OE,OF,
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1.
又因为F为AC的中点,所以OF∥CC1且OF=CC1.
因为E为BB1的中点,所以BE∥CC1且BE=CC1,
所以BE∥OF且BE=OF,
所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE.
又BF平面A1EC,OE平面A1EC,所以BF∥平面A1EC.
(2)由(1)知BF∥OE,因为AB=CB,F为AC的中点,
所以BFAC,所以OEAC.
又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,
所以AA1BF.
由BF∥OE得OEAA1,而AA1,AC平面ACC1A1,且AA1AC=A,
所以OE平面ACC1A1.
因为OE平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.
3.(1)解 由题意可知A1(-,0),A2(,0),
椭圆C1的离心率e=.
设椭圆C2的方程为+=1(a0),则b=.
因为==,所以a=2.
所以椭圆C2的方程为+=1.
(2)证明 设P(x0,y0),y00,则+=1,从而y=12-2x.
将x=x0代入+=1得+=1,从而y2=3-=,即y=.
因为P,H在x轴的同侧,所以取y=,即H(x0,).
所以kA1PkA2H====-1,从而A1PA2H.
又因为PHA1A2,所以H为△PA1A2的垂心.
4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2,
设正方形边长为x,则BQ=,RC=xtan ,
+xtan +x=a,
x==,
S2==.
(2)当a固定,变化时,
=,
令sin 2=t,
则=(0
利用单调性求得t=1时,=.
2016届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些,希望对考生提高成绩有帮助。