正弦定理是三角学中的一个基本定理，下面是查字典数学网整理的正弦定理专项训练，希望对考生复习有帮助。
一、正弦定理变形的应用
1.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为AB∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比ab∶c等于()
A.32∶1 B.∶2∶1
C.∶1 D.2∶∶1
答案:D
解析:A∶B∶C=3∶2∶1,B=2C,A=3C,再由A+B+C=,可得C=,故A=,B=,C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.故选D.
3.在△ABC中,A=60,a=3,则等于()
A. B.
C. D.2
答案:D
解析:利用正弦定理及比例性质,得
=2.
二、利用正弦定理解三角形
4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()
A.4 B.4 C.4 D.
答案:A
解析:B=60,C=75,
A=180-60-75=45.
由正弦定理可得b==4.
故选A.
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60,那么A=()
A.45 B.135
C.45或135 D.60
答案:A
解析:由正弦定理可得sin A=,但ab,A=60或A=120.
8.在△ABC中,已知a=5,B=120,C=15,求此三角形最大的边长.
解:B=120,C=15,
A=180-B-C=180-120-15=45.
∵B最大,b最大.
由正弦定理,得
b=.
9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.
解:,sin A=.
∵ca,CA.A=.
B=,b=+1.
三、判断三角形形状
10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案:B
解析:bcos C+ccos B=asin A,
由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,
故A=,故三角形为直角三角形.
故选B.
11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为()
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案:C
解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,
得sin B=2sin Ccos A,
在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,
即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,
又-b可知B=150不合题意,B=30.
C=180-60-30=90.
7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.
答案:等边三角形
解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.sin A=.
∵△ABC为锐角三角形,A=.
又cos B=cos C,0b,则B=.
答案:
解析:由正弦定理=2R,
得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=2Rsin B.
由0b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.
9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
解:由已知得,
由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),
.
sin Acos A=sin Bcos B.
sin 2A=sin 2B.
又A,B为三角形的内角,
2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.
△ABC为等腰或直角三角形.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30,求ac的值.
解:由正弦定理得
sin B=.
由条件b=6,a=2,知ba,所以BA.
B=60或120.
(1)当B=60时,C=180-A-B=180-30-60=90.
在Rt△ABC中,C=90,a=2,b=6,则c=4,
ac=24=24.
(2)当B=120时,C=180-A-B=180-30-120=30,A=C,则有a=c=2.
ac=22=12.
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