命题是指一个判断(陈述)的语义(实际表达的概念),这个概念是可以被定义并观察的现象,以下是2016届安徽九姑中学高考数学四种命题经典例题,请考生练习。
设原命题为:对顶角相等,把它写成若p则q形式为________.它的逆命题为________,否命题为________,逆否命题为________.
分析 只要确定了p和q,则四种命题形式都好写了.
解 若两个角是对顶角,则两个角相等;若两个角相等,则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶点,则这两个角不相等;若两个角不相等,则这两个角不是对顶角.
例3 若P={x|x|1},则0P的等价命题是________.
分析 等价命题可以是多个,我们这里是确定命题的逆否命题.
{x||x|1}
例4 分别写出命题若x2+y2=0,则x、y全为0的逆命题、否命题和逆否命题.
分析 根据命题的四种形式的结构确定.
解 逆命题:若x、y全为0,则x2+y2=0;
否命题:若x2+y20,则x,y不全为0;
逆否命题:若x、y不全为0,则x2+y20.
说明:x、y全为0的否定不要写成x、y全不为0,应当是x,y不全为0,这要特别小心.
例5 有下列四个命题:
①若xy=1,则x、y互为倒数的逆命题;
②相似三角形的周长相等的否命题;
③若b-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根的逆否命题;
[ ]
A.①② B.②③
C.①③ D.③④
分析 应用相应知识分别验证.
解 写出相应命题并判定真假
①若x,y互为倒数,则xy=1为真命题;
②不相似三角形周长不相等为假命题;
③若方程x2-2bx+b2+b=0没有实根,则b-1为真命题;
选C.
例6 以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题.
①内接于圆的四边形的对角互补;
②已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d;
分析 首先应当把原命题改写成若p则q形式,再设法构造其余的三种形式命题.
解 对①:原命题:若四边形内接于圆,则它的对角互补
逆命题:若四边形对角互补,则它必内接于某圆
否命题:若四边形不内接于圆,则它的对角不互补
逆否命题:若四边形的对角不互补,则它不内接于圆.
对②:原命题:已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d,其中已知a、b、c、d是实数是大前提,a=b,c=d是条件,a+c=b+d是结论.所以:
逆命题:已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d
否命题:已知a、b、c、d是实数,若ab或cd,则a+cb+d(注意a=b,c=d的否定是b或c只需要至少有一个不等即可);
逆否命题:已知a、b、c、d是实数,若a+cb+d则ab或c.
逆否命题还可以写成:已知a、b、c、d是实数,若a+cb+d则a=b,c=d两个等式至少有一个不成立
说明:要注意大前题的处理.试一试:写出命题当c0时,若ab,则acbc的逆命题,否命题,逆否命题,并分别判定其真假.
例7 已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.
分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多,而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单.
说明:利用补集思想,体现了思维的逆向性.
例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
②当abc=0时,a=0或b=0或c=0.
分析 改造原命题成若p则q形式再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
命题;
②原命题;若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题;
逆命题:若a=0或b=0或c=0,则abc=0是真命题;
否命题:若abc0,则a0且b0且c,是真命题;(注意:a=0或b=0或c=0的否定形式是0且b0且c
逆否命题:若a0且b0且c0,则abc,是真命题.
说明:判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性.
分析 如果直接从条件推证,方向不明,过程不可预测,较难,可以使用反证法.
解 设a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,则有a+b+c0,而
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+
=(x-1)2+ (y-1)2+(z-1)2+(-3)
a+b+c0这与a+b+c0矛盾.
因此a、b、c中至少有一个大于0.
说明:如下表,我们给出一些常见词语的否定.
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