如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，下面是等差数列及其前n项和专项练习，希望考生可以认真练习。
1.若数列{an}的首项a1=1,且an=an-1+2(n2),则a7等于()
A.13 B.14 C.15 D.17
2.(2014福建泉州模拟)将含有n项的等差数列插入4和67之间仍构成一个等差数列,且新等差数列的所有项之和等于781,则n的值为()
A.22 B.20 C.23 D.21
3.在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为()
A.14 B.18 C.21 D.27
4.在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4++a9等于()
A.21 B.30 C.35 D.40
5.(2014天津河西口模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使an0的最小正整数n的值是()
A.8 B.9 C.10 D.11
6.(2014浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(nN*,且n2),则a81等于()
A.638 B.639 C.640 D.641
7.若等差数列{an}满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
8.若等差数列{an}前9项的和等于前4项的和,且ak+a4=0,则k= .
9.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.
(1)证明:an+2-an=
(2)是否存在,使得{an}为等差数列?并说明理由.
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11.(2014辽宁,文9)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()
A.d0 B.d0 C.a1d0 D.a1d0
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于()
A.12 B.14 C.16 D.18
13.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为()
A.6 B.7 C.8 D.9
14.已知正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2(nN*,n2),则a7= .
15.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=+n-4(nN*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.16.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(nN*).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn;
(2)是否存在自然数n,使得S1+++-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.1.A 解析:an=an-1+2(n2),
an-an-1=2.
又a1=1,数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
故a7=1+2(7-1)=13.
2.B 解析:根据题意知新数列前n+2项和为781,且a1=4,an+2=67,据前n项和公式知Sn+2=,即781=,解得n=20.
3.A 解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.
4.C 解析:由题意得3a6=15,a6=5.
所以a3+a4++a9=7a6=75=35.
5.C 解析:设等差数列{an}的公差为d,
a11-a8=3d=3,d=1.
∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,
a1=-8,令an=-8+(n-1)0,解得n9.
因此使an0的最小正整数n的值是10.
6.C 解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,
{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
7.8 解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a80,即a8而a7+a10=a8+a90,故a90.所以数列{an}的前8项和最大.
8.10 解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,
即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故a7=0.
而ak+a4=0=2a7,故k=10.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d0,
由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,
所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,
所以a3=9,a4=13.
易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1+(n-1)4=4n-3.
(2)由(1)知Sn==2n2-n,
所以bn=.
(方法一)所以b1=,b2=,b3=(c0).
令2b2=b1+b3,解得c=-.
当c=-时,bn==2n,
当n2时,bn-bn-1=2.
故当c=-时,数列{bn}为等差数列.
(方法二)bn=.
c0,可令c=-,得到bn=2n.
bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(nN*),
数列{bn}是公差为2的等差数列.
故存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
10.解:(1)由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.
由于an+10,所以an+2-an=.
(2)由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.
由(1)知,a3=+1.
令2a2=a1+a3,解得=4.
故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在=4,使得数列{an}为等差数列.
11.D 解析:{}为递减数列,
=1.
a1d0.故选D.
12.B 解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80.
又S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,a1+an=30.
由Sn==210,得n=14.
13.B 解析:a1=19,an+1-an=-3,
数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
an=19+(n-1)(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有kN*.
k.
∵kN*,k=7.
满足条件的n的值为7.
14. 解析:因为2(nN*,n2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.
所以=1+3(n-1)=3n-2.
所以an=,n1.
所以a7=.
15.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n2时,有2Sn-1=+n-5.
又2Sn=+n-4,
两式相减得2an=+1,
即-2an+1=,
也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1.
而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1.
因此,数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)1=n+2,即an=n+2.
16.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN*).
当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN*).
(2)解:由(1),得=2n-1(nN*).
又S1+++-(n-1)2=1+3+5+7++(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2 015,得n=1 008,
即存在满足条件的自然数n=1 008.
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