以下是查字典数学网为您推荐的例谈绝对值问题的求解方法(奥数辅导)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
例谈绝对值问题的求解方法(奥数辅导)
在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。
一、定义法
例1 若方程
只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。
分析与解 因为方程只有负数解，故
，原方程可化为：
，
，
即
说明 绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零;其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。
二、利用非负性
例2 方程
的图象是( )
(A)三条直线：
(B)两条直线：
(C)一点和一条直线：(0，0)，
(D)两个点：(0，1)，(-1，0)
分析与解 由已知，根据非负数的性质，得
即
或
解之得：
或
故原方程的图象为两个点(0，1)，(-1，0)。
说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。
三、公式法
例3 已知
，求
的值。
分析与解
，
原式
说明 本题根据公式
，将原式化为含有
的式子，再根据绝对值的定义求值。
四、分类讨论法
例4 实数a满足
且
，那么
分析与解 由
可得
且
。
当
时，
;
当
时，
说明 有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。
五、平方法
例5 设实数a、b满足不等式
，则
(A)
且
(B)
且
(C)
且
(D)
且
分析与解 由于a、b满足题设的不等式，则有
，
整理得
，
由此可知
，从而
上式仅当
时成立，
，即
且
，
选B。
说明 运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。
六、图示法
例6 在式子
中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
分析与解 问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是-1、-2，-3、-4，求一点P，使
最小(如图)。
由于
是当P点在线段AD上取得最小值3，
是当P在线段BC上取得最小值1，故
的最小值是4。选D。
说明 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。
七、验证法
例7
是一个含有4重绝对值符号的方程，则( )
(A)0、2、4全是根
(B)0、2、4全不是根
(C)0、2、4不全是根
(D)0、2、4之外没有根
分析与解 从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知-2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。
说明 运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。
八、代数式零点法
例8
的最小值是_________。
分析与解 由
可确定零点为-1、2、3。
当
时，
原式
;
当
时，
原式
;
当
时，
原式
;
当
时，
原式
综上知所求最小值为4。
说明 运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：(1)先求代数式零点，把数轴分为若干区间;(2)判定各区间内代数式的正负号;(3)依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。
九、数形结合法
例9 已知二次函数
的图象如图所示，并设
，则( )
(A)
(B)
(C)
(D)不能确定M为正、负或为0
分析与解 令
中
，由图象得：
;
令
得
∵顶点在第四象限，
顶点的横坐标
又
，
而
，
，即
故
选C。
说明 运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。
十、组合计数法
例10 方程
，共有几组不同整数解
(A)16 (B)14 (C)12 (D)10
分析与解 由已知条件可得
当
时，
;
当
时，
;
当
时，
;
当
时，
。
共有12组不同整数解，故选C。
说明 此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。
十一、枚举法
例11 已知a为整数，
是质数，试确定a的所有可能值的和。
分析与解 设
是质数p，则
仅有因子1及
。
当
时，
，此时，
;
当
时，
，此时，
;
当
时，
，此时，
;
当
时，
，此时，
当a取整数-1、-2、5、4时，
是质数， 即a的所有可能值的和为6。
说明 运用此法是指在题目条件的范围内，将可能的情况一一列举出来，然后通过比较、检验进行筛选，最终确定结果。