数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛,以下是查字典数学网为大家整理的高一上册数学函数的应用测试,希望可以解决您所遇到的相关问题,加油,查字典数学网一直陪伴您。
一、选择题
1.函数f(x)=23x+1+a的零点为1,则实数a的值为()
A.-2 B.-12
C.12 D.2
解析 由已知得f(1)=0,即231+1+a=0,解得a=-12.故选B.
答案 B
2.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是()
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析 由f(0)=20-0-20,f(1)=2-1-20,f(2)=22-2-20,根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内,故选B.
答案 B
3.(2014北京卷)已知函数f(x )=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+)
解析 由题意知,函数f(x)在(0,+)上为减函数,又f(1)=6-0=60,f(2)=3-1=20,f(4)=64-log24=32-2=-120,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
答案 C
4.(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-7,1,3} D.{-2-7,1,3
解析 求出当x0时f(x)的解析式,分类讨论解方程即可.令x0,则-x0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以当x0时,f(x)=-x2-3x.所以当x0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+70(舍去)或x=-2-7.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-7,1,3}.
答案 D
5.已知函数f(x)=kx+2,x0lnx,x0(kR),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()
A.k B.-1
C.-2 -1 D.k-2
解析 由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k0,所以 k0,作出函数y=|f(x)|的图象,
要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k2,即k-2,选D.
答案 D
6.x0是函数f(x)=2sinx-lnx(x(0,))的零点,x1
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析 因为f(1)=2sin1-ln1=2sin10,f(e)=2sin e-0,所以x0(1,e),即①正确.
f(x)=2cosx-x,当x0,2时,2,f(x)0,
当x=2时,f(x)=-20,
当x2,时,1x2,cosx 0,f(x)0.
综上可知,f(x)0,f(x)为减函数,f(x1)f(x2),即f(x1)-f(x2)0,④正确.
答案 B
二、填空题
7.已知0
解析 分别画出函数y=ax(0
答案 2
8.(2014福建卷)函数f(x)=x2-2,x0,2x-6+lnx,x0的零点个数是________.
解析 分段函数分别在每一段上判断零点个数,单调函数的零点至多有一个.
当x0时,令x2-2=0,解得x=-2(正根舍去),
所以在(-,0]上有一个零点.
当x0时,f( x)=2+1x0恒成立,所以f(x)在(0,+)上是增函数.
又因为f(2)=-2+ln20,f(3)=ln30,f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点.
综上,函数f(x)的零点个数为2.
答案 2
9.(2 014陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.
解析 如图所示,△ADE∽△ABC,设矩形的面积为S,另一边长为y,
则S△ADES△ABC=40-y402=x402.
所以y=40-x,则S=x(40-x)=-(x-20)2+202,
所 以当x=20时,S最大.
答案 20
三、解答题
10.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
解 (1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,
因为|x|0,所以012|x|1,
即2
(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0,
当x0时,显然不满足方程,
当x0时,由2x-12x-2=0,
整理得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,
故2x=12,因为2x 0,所以2x=1+2,
即x=log2(1+2).
11.设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)=3x2-9x+6,
因为xR时,f(x)m,
即3x2-9x+(6-m)0恒成立,
所以=81-12(6-m)0,得m-34,
故 m的最大值为-34.
(2)由(1)知,f(x)=3(x-1)(x-2),当x1时,f(x)当1
所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=52-a;
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a;
故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)=0仅有一个实根.
解得a2或a52.
实数a的取值范围是(-,2)52,+.
B级能力提高组
1.(2014湖南卷)已知函数f(x)=x2+ex-12(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()
A.-,1e B.(-,e)
C.-1e,e D.-e,1e
解析 设x0,x20+ex0-12是函数f(x)图象上任意一点,该点关于y轴的对称点-x0,x20+ex0-12在函数g(x)的图象上,则x20+ex0-12=x20+ln(a-x0),即ln(a-x0)=ex0-12,a= x0+e ex0- 12 (x0).
记h(x)=x+eex-12=x+1eeex,
则h(x)=1+1eeexex=1+1eeex+x0,
h(x)在(-,0)上是增函数.
a
答案 B
2.(2014浙江名校联考)已知函数f(x)=x2+1x2+ax+1x+a在定义域上有零点,则实数a的取值范围是________.
解析 f(x)=x+1x2+ax+1x+a-2 ,x0,
令x+1x=t,则t(-,-2][2,+),
由于f(x)有零点,则关于t的方程t2+at+a-2=0在(-,-2][2,+)上有解.
∵t-1,方程t2+at+a-2=0可化为a=2-t2t+1,t(-,-2][2,+),问题就转化为a=2-t2t+1=-t+12+2t+1+1t+1=-(t+1)+1t+1+2,t(-,-2][2,+),a=-(t+1)+1t+1+2在(-,-2]和[2,+)上都是减函数,故当t-2时,a当t2时,a-23,a-,-23[2,+).
答案 -,-23[2,+)
3.(2014江苏南京一模)如图,现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通环岛.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.
(1)求x的取值范围(运算中2取1.4);
(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为433ax元/m2,其余区域的造价为12a11元/m2,当x取何值时,可使环岛的整体造价最低?
解 (1)由题意得x9,100-2x60,1002-2x-215x210,
解得x9,x20,-2015,即915.
(2)记环岛的整体造价为y元,则由题意得
y=a15x22+433axx2+12a11104-15x22-x2
=a11-125x4+43x3-12x2+12104,
令f(x)=-125x4+43x3-12x2,
则f(x)=-425x3+4x2-24x=-4x125x2-x+6,
由f(x)=0,解得x=10或x=15,
列表如下:
x9(9,10)10(10,15)15
f(x)-0+0
f(x)↘极小值
所以当x=10时,y取最小值.
即当x=10 m时,可使环岛的整体造价最低.
最后,希望小编整理的高一上册数学函数的应用测试对您有所帮助,祝同学们学习进步。