高中2014年高一数学下学期期末试卷分析
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一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1.已知三个集合 及元素间的关系如图所示，则 等于( C )
A. B. C. D.
2.下列函数是奇函数的是 ( D )
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是 ( B )
A. B.
C. D.
4.函数 的定义域为 ( A )
A. B. C. D.
5.已知集合 ，则下列式子表示错误的是 ( B )
A B C D
6.设 ,用二分法求方程 内近似解
的过程中得 则方程的根落在区间 ( B )
A B C D 不能确定
7.设 ，则 的大小关系是 ( A )
A. B. C. D.
8.今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
其中最接近的一个是： ( C )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上)
9.函数 的零点为 3 ;
10.计算：(1) 1 ; (2) ;
11.已知函数 ，则 0 ;
12.设 ,且 ，则 的取值范围是
13.如果函数 是偶函数，那么 = -1 ;
14.已知函数 ，则 8 .
三、解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本题满分8分)已知集合
求 .
解：由题意得 ,
.
16.(本题满分8分)已知函数 .
(1)求证： 在 上是单调递增函数;
(2)若 在 上的值域是 ，求 的值.
解：(1)证明:设 ，则 ，
,
在 上是单调递增的.
(2) 在 上单调递增，
，易得 .
17.(本题满分8分)已知 .
(1)求函数 的定义域;
(2)求使 的x的取值范围.
18.(本题满分10分) 某城市现有人口总数为100万人,如果年自然
增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年).
(参考数据:1.01291.113，1.012101.127，lg1.20.079,lg1.0120.005)
解：(1)1年后该城市人口总数为
y=100+1001.2%=100(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%
=100(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为
y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%
=100(1+1.2%)3.
x年后该城市人口总数为
y=100(1+1.2%)x.
(2) 10年后，人口总数为
100(1+1.2%)10112.7(万人).
(3) 设x年后该城市人口将达到120万人，
即100(1+1.2%)x=120,
所以，大约16年以后，该城市人口将达到120万人.
19.(本题满分10分)已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域;
(2)如果函数 在定义域内有零点，求实数 的取值范围.
解：(1)当 时， ，
从而， 的最小值是 ，最大值是 ，
即 的值域是 .
(2) 函数 在定义域内有零点,即方程 在 有实根，
等价于求函数 在 上的值域.令 ，则
.再令 ，
则 ，当 时， 有最大值 ，即 .
第Ⅱ卷 (选考部分 共50分)
20.(本题满分12分)已知集合 ,若A=B,求 的值.
解：由A=B知， ，即 ，此时,
所以 ，解得
与集合元素互异性矛盾，应舍去;
当
21.(本题满分12分)已知二次函数 和一次函数 ，
其中 且满足 ， .
(1)证明：函数 与 的图象交于不同的两点A，B;
(2)若函数 在 上的最小值为9，最大值为21，求 的解析式.
解：(1)由 与 得 ，
， ，
从而 ，即函数 与 的图象交于不同两点A，B.
(2) 即 ，得
知函数 在[2，3]上为增函数， ，
又 解得 故 .
22.(本题满分13分)已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 的值;
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
解:(1)因为 是奇函数，所以 =0，即
(2)由(1)知 设 ,则
，
因为函数y=2 在R上是增函数且 , 0，又 0,
0即 . 在 上为减函数.
因 是奇函数，不等式 等价于 ，
又因 为减函数， .即对一切 有： ，
从而判别式
23.(本题满分13分)已知定义在区间 上的函数 满足 ，且当 时， .
(1) 求 的值;
(2) 判断 的单调性并予以证明;
(3) 若 解不等式 .
解:(1)令 ，代入得 ，故 .
(2)任取 ，且 则 ，由于当 时， ,
所以 ,即 ，因此 .
所以函数 在区间 上是单调递减函数.
(3) 由 得 ，而 ，所以 .
由函数 在区间 上是单调递减函数，且 ，
得 ，因此不等式的解集为 .
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