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一、选择题
1.对于集合A,B,AB不成立的含义是()
A.B是A的子集
B.A中的元素都不是B的元素
C.A中至少有一个元素不属于B
D.B中至少有一个元素不属于A
[答案] C
[解析] AB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素.不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B,故选C.
2.集合M={(x,y)|x+y0,xy0},P={(x,y)|x0,y0}那么()
A.P?M B.M?P
C.M=P D.M P
[答案] C
[解析] 由xy0知x与y同号,又x+y0
x与y同为负数
x+y0等价于x0M=P.
3.设集合A={x|x2=1},B={x|x是不大于3的自然数},AC,BC,则集合C中元素最少有()
A.2个 B.4个
C.5个 D.6个
[答案] C
[解析] A={-1,1},B={0,1,2,3},
∵AC,BC,
集合C中必含有A与B的所有元素-1,0,1,2,3,故C中至少有5个元素.
4.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且BA,则满足条件的实数x的个数是()
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] C
[解析] ∵BA,x2A,又x21
x2=3或x2=x,x=3或x=0.故选C.
5.已知集合M={x|y2=2x,yR}和集合P={(x,y)|y2=2x,yR},则两个集合间的关系是()
A.M?P B.P?M
C.M=P D.M、P互不包含
[答案] D
[解析] 由于两集合代表元素不同,因此M与P互不包含,故选D.
6.集合B={a,b,c},C={a,b,d};集合A满足AB,AC.则满足条件的集合A的个数是()
A.8 B.2
C.4 D.1
[答案] C
[解析] ∵AB,AC,集合A中的元素只能由a或b构成.这样的集合共有22=4个.
即:A=,或A={a},或A={b}或A={a,b}.
7.设集合M={x|x=k2+14,kZ},N={x|x=k4+12,kZ},则()
A.M=N B.M?N
C.M?N D.M与N的关系不确定
[答案] B
[解析] 解法1:用列举法,令k=-2,-1,0,1,2可得
M={-34,-14,14,34,54},
N={0,14,12,34,1},
M?N,故选B.
解法2:集合M的元素为:x=k2+14=2k+14(kZ),集合N的元素为:x=k4+12=k+24(kZ),而2k+1为奇数,k+2为整数,M?N,故选B.
[点评] 本题解法从分式的结构出发,运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数,则k+m(m是一个整数)也是任意整数,而2k+1,2k-1均为任意奇数,2k为任意偶数.
8.集合A={x|03且xN}的真子集的个数是()
A.16 B.8
C.7 D.4
[答案] C
[解析] 因为03,xN,x=0,1,2,即A={0,1,2},所以A的真子集个数为23-1=7.
9.(09广东文)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()
[答案] B
[解析] 由N={x|x2+x=0}={-1,0}得,N?M,选B.
10.如果集合A满足{0,2}?A{-1,0,1,2},则这样的集合A个数为()
A.5 B.4
C.3 D.2
[答案] C
[解析] 集合A里必含有元素0和2,且至少含有-1和1中的一个元素,故A={0,2,1},{0,2,-1}或{0,2,1,-1}.
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二、填空题
11.设A={正方形},B={平行四边形},C={四边形},D={矩形},E={多边形},则A、B、C、D、E之间的关系是________.
[答案] A?D?B?C?E
[解析] 由各种图形的定义可得.
12.集合M={x|x=1+a2,aN*},P={x|x=a2-4a+5,aN*},则集合M与集合P的关系为________.
[答案] M?P
[解析] P={x|x=a2-4a+5,aN*}
={x|x=(a-2)2+1,aN*}
∵aN*a-2-1,且a-2Z,即a-2{-1,0,1,2,},而M={x|x=a2+1,aN*},M?P.
13.用适当的符号填空.(,,,,?,?,=)
a________{b,a};a________{(a,b)};
{a,b,c}________{a,b};{2,4}________{2,3,4};
________{a}.
[答案] ,,?,?,?
*14.已知集合A=x|x=a+16,aZ,
B={x|x=b2-13,bZ},
C={x|x=c2+16,cZ}.
则集合A,B,C满足的关系是________(用,?,=,,,中的符号连接A,B,C).
[答案] A?B=C
[解析] 由b2-13=c2+16得b=c+1,
对任意cZ有b=c+1Z.
对任意bZ,有c=b-1Z,
B=C,又当c=2a时,有c2+16=a+16,aZ.
A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系.
15.(09北京文)设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k-1A,那么k是A的一个孤立元.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含孤立元的集合共有______个.
[答案] 6
[解析] 由题意,要使k为非孤立元,则对kA有k-1A.k最小取2.
k-1A,kA,又A中共有三个元素,要使另一元素非孤立元,则其必为k+1.所以这三个元素为相邻的三个数.共有6个这样的集合.
三、解答题
16.已知A={xR|x-1或x5},B={xR|ax
[解析] 如图
∵A?B,a+4-1或者a5.
即a-5或a5.
17.已知A={x|x-1或x2},B={x|4x+a0},当BA时,求实数a的取值范围.
[解析] ∵A={x|x-1或x2},
B={x|4x+a0}={x|x-a4},
∵AB,-a4-1,即a4,
所以a的取值范围是a4.
18.A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},a、xR,求:
(1)使A={2,3,4}的x的值;
(2)使2B,B?A成立的a、x的值;
(3)使B=C成立的a、x的值.
[解析] (1)∵A={2,3,4}x2-5x+9=3
解得x=2或3
(2)若2B,则x2+ax+a=2
又B?A,所以x2-5x+9=3得x=2或3,将x=2或3分别代入x2+ax+a=2中得a=-23或-74
(3)若B=C,则x2+ax+a=1①x2+(a+1)x-3=3②
①-②得:x=a+5 代入①解得a=-2或-6
此时x=3或-1.
*19.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集,若各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.
[解析] 由题设条件知C{0,2,4,6,7},C{3,4,5,7,10},C{4,7},∵C,C={4},{7}或{4,7}.