在一个变化过程中,有两个变量x、y,如果给定一个x值,相应的就确定唯一的一个y,那么就称y是x的函数,以下是2016高考数学一轮复习函数的概念专题测试题,请大家仔细进行检测。
一、选择题
1.(文)(2013朝阳一模)已知函数y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=lgx,则f(f())的值等于()
A. lg1B.-lg1
C.lg2 D.-lg2
[答案] D
[解析] 当x0时,-x0,则f(-x)=lg(-x).
又函数为奇函数,f(-x)=-f(x),
f(x)=-lg(-x).
f()=lg=-2,f(f())=f(-2)=-lg2.
(理)(2013辽宁文,7)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f(lg)=()
A.-1 B.0
C.1 D.2
[答案] D
[解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式.
f(x)=ln(-3x)+1=-ln(+3x)+1,
f(-x)=ln(+3x)+1,f(x)+f(-x)=2,
又lg=-lg2,f(lg2)+f(lg)=2,故选D.
2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为()
[答案] D
[解析] 法一:f(|x-1|)=2|x-1|.
当x=0时,y=2.可排除A、C.
当x=-1时,y=4.可排除B.
法二:y=2xy=2|x|y=2|x-1|,经过图象的对称、平移可得到所求.
3.(2014新课标文,5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性.
由f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得
f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(x)g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数,
f(x)|g(x)|是奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数,选C.
4.(2013山东文,5)函数f(x)=+的定义域为()
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-,-3)(-3,0] D.(-,-3)(-3,1]
[答案] A
[解析] 本题考查了定义域的求法.
由题意知即即
30,00,所以f(-x)=-x(1-x),又f(x)为奇函数,所以当x0时有f(x)=x(1-x),当a0时,f(a)=a(a+1)=-2,无解;当a0时,f(a)=a(1-a)=-2,得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2(舍去),综上知a=-1.
8.(2014吉林市质检)已知函数f(x)=,则f[f()]=________.
[答案]
[解析] f()=log4=-1,f[f()]=f(-1)=3-1=.
9.(2014唐山市一模)函数y=log3(2cosx+1),x(-,)的值域为________.
[答案] (-,1]
[解析] x(-,),cosx(-,1],
2cosx+1(0,3],log3(2cosx+1)log33=1.
10.(2013北京海淀区期中)已知函数f(x)=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
[答案] 1时,f(x)g(x)恒成立,故选C.
12.(文)(2014湖南理,3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性.
分别令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1,则
f(1)+g(1)=1,故选C.
(理)(2013江西八校联考)已知f(x)=,则f(2013)等于()
A.-1 B.2
C.0 D.1
[答案] D
[解析] 2013=4035-2,f(2013)=f(-2)=log22=1.
13.(文)(2013福建质检)函数f(x)=logcosx(-0,排除D,故选C.
解法2:利用复合函数单调性的判断方法,由于u=cosx在区间(-,0)、(0,)上分别为增函数和减函数,而y=logu为减函数,故复合函数f(x)=logcosx在区间(-,0)、(0,)上分别为减函数和增函数,故选C.
(理)(2013北京东城训练)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x=-3,且当x-3时,f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1,k)(kZ)上有零点,则k的值为()
A.2或-7 B.2或-8
C.1或-7 D.1或-8
[答案] A
[解析] f(1)=-10,f(2)=10,f(x)在(1,2)上有零点,又f(x)的图象关于直线x=-3对称,
f(x)在(-8,-7)上有零点,k=2或-7.
14.(2014豫东、豫北十所名校联考)已知f(x+1)为偶函数,且f(x)在区间(1,+)上单调递减,a=f(2)、b=f(log32)、c=f(),则有 ()
A.alog32,f(2)0时,y=f(x)与y=lnx的图象有4个交点.故选D.
(理)(2014河北衡水中学模拟)设f(x)是定义在R上的函数,若f(0)=2008,且对任意xR,满足f(x+2)-f(x)32x,f(x+6)-f(x)632x,则f(2008)=()
A.22006+2007 B.22008+2006
C.22008+2007 D.22006+2008
[答案] C
[解析] 由题意f(2008)f(2006)+322006f(2004)+322006+322004f(0)+3(22006+22004++22+20)=2008+3=2007+22008
f(2008)f(2002)+6322002f(1996)+6321996f(4)+63(22002+21996++24)
=f(4)+63=f(4)+22008-24
又由条件f(x+2)-f(x)32x,f(x+6)-f(x)632x,
可得f(x+6)-f(x+2)602x=152x+2
即f(x+4)-f(x)152x
再由f(x+2)-f(x)32x得f(x+4)-f(x+2)32x+2
两式相加得f(x+4)-f(x)152x,
f(x+4)-f(x)=152x
f(4)-f(0)=15,f(4)=f(0)+15=2023,代入解得f(2008)2007+22008
由得f(2008)=2007+22008.
二、填空题
17.(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)1,f(2)=,则实数a的取值范围是________.
[答案] (-1,)
[解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又f(1)1,所以f(2)-1,即-1,解得-10)上的奇函数,令g(x)=af(x)+b,并有关于函数g(x)的四个论断:
若a0,对于[-1,1]内的任意实数m、n(m0恒成立;
函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0;
aR,g(x)的导函数g(x)有两个零点;
若a1,b0,则方程g(x)=0必有3个实数根;
其中所有正确结论的序号是________.
[答案]
[解析] g(x)=af(x)+b,=,由图知对于f(x)在[-1,1]上任意两点A(m,f(m)),B(n,f(n)),有kAB=0,又a0恒成立,故正确;
g(x)为奇函数g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)],f(x)为奇函数,f(-x)+f(x)=0,故g(x)为奇函数b=0,故正确;
g(x)=af (x),由图知f(x)在[-c,c]上减、增、减,f (x)在[-c,c]上取值为负、正、负,从而当a0时,g(x)=0在[-c,c]上与x轴必有两个交点,又a=0时,g(x)=0在[-c,c]上恒成立,aR,g(x)在[-c,c]上有两个零点,故正确;
取a=1,b=-5,则g(x)=f(x)-5与x轴无交点,方程g(x)=0无实根,错误.
三、解答题
19.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,当x时,f(x)0.
(1)求f(1);
(2)判断f(x)的增减性并证明.
[解析] (1)令x=y=,得f(1)=f()+f()+=.
(2)f(x)为增函数,证明:任取x1、x2R,且x2x1,x=x2-x10,则:
y=f(x2)-f(x1)=f(x1+x)-f(x1)=f(x)+f(x1)+-f(x1)=f(x)+=f(x)+f()+=f(x+),
又0,x+,f(x+)0,
f(x2)f(x1),f(x)在R上是增函数.
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