双曲线方程
1. 双曲线的第一定义:
⑴①双曲线标准方程:
⑵①i. 焦点在x轴上:
顶点:
ii. 焦点在
②轴
“长加短减”原则:
⑶等轴双曲线:双曲线
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
例如:若双曲线一条渐近线为
解:令双曲线的方程为:
⑹直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;
区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入
⑺若P在双曲线
简证:
常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.