直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。以下是直接证明与间接证明专项练习，请考生认真练习。
1.(2014山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明()
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
3.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+()
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
4.(2014天津模拟)p=,q=(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为()
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()
A.恒为负值 B.恒等于零
C.恒为正值 D.无法确定正负
6.(2014福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()
A.不成立 B.成立
C.不能断定 D.与n取值有关
7.用反证法证明“如果a>b,那么”假设内容应是.
8.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足.
9.已知a>0,求证:≥a+-2.
10.已知在数列{an}中,a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2,且nN*).
(1)证明:数列为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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11.已知m>1,a=,b=,则以下结论正确的是()
A.a>b B.aa+b,那么a,b应满足的条件是.
13.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:≥1.
14.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.
求证:.
15.(2014福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=,g(x)=f(x)+f'(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值.
(2)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.A解析:“至少有一个”的否定为“没有”.
2.D解析:因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.
3.D解析:a>0,b>0,c>0,
∴≥6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
4.B解析:q==p.
5.A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)b2+c2解析:由余弦定理cos A=<0,
则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.
9.证明:要证≥a+-2,
只需要证+2≥a+.
又a>0,所以只需要证,
即a2++4+4≥a2+2++2+2,
从而只需要证2≥
,
只需要证4≥
2,
即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
10.(1)证明:设bn=,则b1==2.
因为bn+1-bn=[(an+1-2an)+1]
=[(2n+1-1)+1]=1,
所以数列为首项是2,公差是1的等差数列.
(2)解:由(1)知,+(n-1)×1,
则an=(n+1)·2n+1.
因为Sn=(2·21+1)+(3·22+1)+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1],
所以Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.
设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①
2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1.②
②-①,得
Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1=n·2n+1,
所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).
11.B解析:a=,
b=,
又,
,
即aa+b⇔()2·()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.
13.证明:因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+(a+b+c)≥
2(a+b+c),
即≥a+b+c.
所以≥1.
14.证明:要证,
即证=3,也就是=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
即证c2+a2=ac+b2.
又△ABC三内角A,B,C成等差数列,所以B=60°,
由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,即b2=c2+a2-ac,
故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.
15.解:(1)因为(ln x)'=,
所以f(x)=ln x,g(x)=ln x+,g'(x)=.
令g'(x)=0得x=1.
当x(0,1)时,g'(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调递减区间,
当x(1,+∞)时,g'(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间,
因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
(2)满足条件的x0不存在.理由如下:
假设存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立,
即对任意x>0,有ln x0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立.
直接证明与间接证明专项练习的全部内容希望考生可以通过试卷查缺补漏。