数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。以下是数列的概念与表示考点专项练习，请大家及时练习。
1.数列0,,…的一个通项公式为()
A.an=(nN*) B.an=(n∈N*)
C.an=(n∈N*) D.an=(n∈N*)
2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于()
A. B. C. D.30
3.(2014宁夏银川模拟改编)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2 015的值为()
A.- B.-1 C. D.2
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()
A.2n-1 B. C. D.
5.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(nN*),则数列{an}的通项公式an=.
6.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=.
7.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an=.
8.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,nN*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
9.已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f'(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上,求数列{an}的通项公式及Sn的最大值.
能力提升组
10.(2014湖南长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN*),则an等于()
A.2n-1 B.n C.2n-1 D.
11.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(nN*).若bn+1=(n-λ),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为()
A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2 D.λ<3
12.(2014福建龙岩模拟)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2 015项为.
13.(2014安徽合肥质检)已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(nN,n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于?
14.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.1.C解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN*;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN*,故选C.
2.D解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
=5×(5+1)=30.
3.B解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,
从而T2 015=(-1)671×2×=-1.
4.B解析:Sn=2an+1,
∴当n≥2时,Sn-1=2an.
an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即(n≥2).
又a2=,
an=(n≥2).
当n=1时,a1=1≠,
an=
∴Sn=2an+1=2×.
5.3n解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.
6.5或6解析:由题意令
解得
n=5或6.
7.解析:(n+1)+an+1·an-n=0,
∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.
又an+1+an>0,
(n+1)an+1-nan=0,
即,
·…·
=×…×,
∴an=.
8.解:(1)依题意,2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.
(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,
所以当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),
两式相减得,2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,
整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),
即=1.又=1,
故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)×1=n,
所以an=n2.
9.解:f(x)=ax2+bx(a≠0),
∴f'(x)=2ax+b.
又f'(x)=-2x+7,
a=-1,b=7.
∴f(x)=-x2+7x.
∵点Pn(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上,
Sn=-n2+7n.
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,
an=-2n+8(n∈N*).
令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
综上,an=-2n+8(nN*),且当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
10.D解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN*),
∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得,2an=3an-1(n≥2).
又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,
a1=1.
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
an=.
11.C解析:由已知可得+1,+1=2.
又+1=2≠0,则+1=2n,bn+1=2n(n-λ),
bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,
故bn=2n-1(n-1-λ)(nN*).
由bn+1>bn,
得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ
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